Самостоятельная работа № 9 по геометрии с ответами 11 класс «Комбинации цилиндра с призмой» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 9.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 11 класс
Самостоятельная работа № 9
Вариант 1
№ 1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.
Решение:
1. Цилиндр описан около параллелепипеда, значит, его основание — окружность, описанная около прямоугольника 12×16.
2. Диагональ прямоугольника (основания): \(d = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см. Эта диагональ является диаметром окружности основания цилиндра. Следовательно, радиус цилиндра \(R = d/2 = 10\) см.
3. Диагональ параллелепипеда \(D\) образует с плоскостью основания угол 60°. Из прямоугольного треугольника: \(H = D \cdot \sin 60^\circ\), \(d = D \cdot \cos 60^\circ\), где \(H\) — высота параллелепипеда (и цилиндра).
4. Найдем \(D\): \(D = d / \cos 60^\circ = 20 / (1/2) = 40\) см.
5. Найдем \(H\): \(H = D \cdot \sin 60^\circ = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\) см.
6. Площадь полной поверхности цилиндра: \(S_{\text{полн}} = 2\pi R (H + R) = 2\pi \cdot 10 \cdot (20\sqrt{3} + 10) = 20\pi (20\sqrt{3} + 10) = 200\pi (2\sqrt{3} + 1)\).
ОТВЕТ: \(S_{\text{полн}} = 200\pi(2\sqrt{3} + 1)\) см².
№ 2. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а около него описана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.
Решение:
1. Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\).
2. Правильная треугольная призма вписана в цилиндр. Её основание — правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса \(R\). Сторона треугольника: \(a_3 = R\sqrt{3}\).
Периметр основания: \(P_3 = 3R\sqrt{3}\).
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок3} = P_3 \cdot H = 3R\sqrt{3} \cdot H\).
3. Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра. Её основание — правильный шестиугольник, описанный около окружности радиуса \(R\). Сторона шестиугольника: \(a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).
Периметр основания: \(P_6 = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} = 4R\sqrt{3}\).
Площадь боковой поверхности: \(S_{бок6} = P_6 \cdot H = 4R\sqrt{3} \cdot H\).
4. Находим отношение: \(\frac{S_{бок3}}{S_{бок6}} = \frac{3R\sqrt{3} \cdot H}{4R\sqrt{3} \cdot H} = \frac{3}{4}\).
ОТВЕТ: \(\frac{S_{бок3}}{S_{бок6}} = \frac{3}{4}\).
№ 3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна √595 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.
Решение:
1. Цилиндр вписан в призму. Это означает, что его основания вписаны в основания призмы (равнобедренную трапецию), а высота цилиндра равна высоте призмы \(H\).
2. Чтобы цилиндр можно было вписать в призму, в её основание (трапецию) должна быть вписана окружность. Условие вписанной окружности в трапецию: суммы длин оснований равны сумме длин боковых сторон. Пусть большее основание \(AD = x\), меньшее \(BC = 9\), боковые стороны \(AB = CD = 17\).
Тогда: \(AD + BC = AB + CD\) => \(x + 9 = 17 + 17\) => \(x + 9 = 34\) => \(x = 25\) см.
3. Радиус вписанной в трапецию окружности (он же радиус цилиндра \(r\)) равен половине высоты трапеции \(h\). Найдем \(h\).
Опустим высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин \(B\) и \(C\) на основание \(AD\).
\(AH = KD = (AD — BC)/2 = (25 — 9)/2 = 8\) см.
Из прямоугольного треугольника \(ABH\): \(h = \sqrt{AB^2 — AH^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15\) см.
Следовательно, \(r = h/2 = 7.5\) см.
4. Найдем высоту призмы \(H\). Дана диагональ призмы \(d = \sqrt{595}\) см. Диагональ призмы, диагональ основания и высота образуют прямоугольный треугольник. Диагональ основания трапеции (например, \(AC\)) нужна для нахождения \(H\).
Рассмотрим основание. Из треугольника \(ACD\) (или \(ABC\)) найдем диагональ \(AC\).
\(AC^2 = h^2 + (BC + AH)^2 = 15^2 + (9 + 8)^2 = 225 + 17^2 = 225 + 289 = 514\).
5. Теперь из прямоугольного треугольника, образованного диагональю призмы \(d\), диагональю основания \(AC\) и высотой \(H\):
\(d^2 = AC^2 + H^2\)
\(595 = 514 + H^2\)
\(H^2 = 595 — 514 = 81\)
\(H = 9\) см.
6. Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2\pi r H = 2\pi \cdot 7.5 \cdot 9 = 2\pi \cdot 67.5 = 135\pi\) см².
ОТВЕТ: \(S_{бок} = 135\pi\) см².
Вариант 2
№ 1. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей больший из катетов, образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.
№ 2. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная четырёхугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.
№ 3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 18 см. Диагональ призмы равна √362 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.
Вариант 3
№ 1. Основанием призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.
№ 2. В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.
№ 3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, большее основание и боковая сторона которой равны соответственно 27 см и 15 см. Диагональ призмы равна √370 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.
Вариант 4
№ 1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см. Диагональ боковой грани, содержащей меньшую из сторон основания, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.
№ 2. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а около него описана правильная треугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.
№ 3. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 6 см и 24 см. Диагональ призмы равна √538 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс «Комбинации цилиндра с призмой» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 9.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)