Самостоятельная работа № 8 по геометрии с ответами 11 класс «Цилиндр» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 8.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 11 класс
Самостоятельная работа № 8
Вариант 1
№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение:
1. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) (высота) и \(d\) (диаметр основания). Диагональ этого прямоугольника равна 8 см и образует угол 60° с основанием.
2. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой и диаметром:
— Высота \(h = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) см.
— Диаметр \(d = 8 \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см.
— Радиус \(r = \frac{d}{2} = 2\) см.
3. Площадь боковой поверхности цилиндра:
\[
S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 2 \cdot 4\sqrt{3} = 16\pi\sqrt{3} \text{ см}^2.
\]
ОТВЕТ: \(16\pi\sqrt{3}\) см²
№ 2. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра, АС = 8 см, ∠ACD = 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.
Решение:
1. Прямоугольник ABCD — развёртка боковой поверхности. Пусть \(AB = h\) (высота), \(BC = l\) (длина окружности основания, \(l = 2\pi r\)).
2. По условию, меньшая сторона — высота, поэтому \(h < l\).
3. Рассмотрим треугольник ACD:
— AC = 8 см — диагональ прямоугольника,
— ∠ACD = 30°.
4. В прямоугольном треугольнике ACD (угол D = 90°):
— Сторона CD = \(l\) (длина окружности),
— Сторона AD = \(h\) (высота),
— Диагональ AC = 8 см.
5. Из треугольника:
\[
\sin 30^\circ = \frac{h}{AC} = \frac{h}{8} \Rightarrow h = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}.
\]
\[
\cos 30^\circ = \frac{l}{AC} = \frac{l}{8} \Rightarrow l = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}.
\]
6. Найдём радиус основания из длины окружности:
\[
l = 2\pi r = 4\sqrt{3} \Rightarrow r = \frac{4\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \text{ см}.
\]
7. Площадь полной поверхности цилиндра:
\[
S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = l \cdot h + 2\pi r^2 = 4\sqrt{3} \cdot 4 + 2\pi \left( \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \right)^2 = 16\sqrt{3} + 2\pi \cdot \frac{12}{\pi^2} = 16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi} \text{ см}^2.
\]
ОТВЕТ: \(\left(16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}\right)\) см²
№ 3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны \(10\sqrt{2}\) см² и 20 см². Угол между плоскостями сечений равен 45°. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.
Решение:
1. Пусть сечения проведены через одну образующую AA₁. Обозначим их как ABB₁A₁ (площадь \(S_1 = 20\) см²) и ACC₁A₁ (площадь \(S_2 = 10\sqrt{2}\) см²). Угол между плоскостями сечений равен 45°.
2. Эти сечения — прямоугольники, так как проходят через образующую. Их площади:
\[
S_1 = AA_1 \cdot AB = 20, \quad S_2 = AA_1 \cdot AC = 10\sqrt{2}.
\]
3. Третье сечение проходит через две другие образующие (BB₁ и CC₁) — это сечение BCC₁B₁. Оно также является прямоугольником.
4. Угол между плоскостями сечений равен углу между их диагоналями (или между сторонами, перпендикулярными образующей). Пусть угол между AB и AC равен 45°.
5. По теореме косинусов в треугольнике ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ.
\]
6. Выразим AB и AC из площадей:
\[
AB = \frac{20}{h}, \quad AC = \frac{10\sqrt{2}}{h}, \quad \text{где } h = AA_1.
\]
7. Подставим в формулу:
\[
BC^2 = \left( \frac{20}{h} \right)^2 + \left( \frac{10\sqrt{2}}{h} \right)^2 — 2 \cdot \frac{20}{h} \cdot \frac{10\sqrt{2}}{h} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{400}{h^2} + \frac{200}{h^2} — \frac{400}{h^2} = \frac{200}{h^2}.
\]
\[
BC = \frac{10\sqrt{2}}{h}.
\]
8. Площадь третьего сечения:
\[
S_3 = h \cdot BC = h \cdot \frac{10\sqrt{2}}{h} = 10\sqrt{2} \text{ см}^2.
\]
ОТВЕТ: \(10\sqrt{2}\) см²
Вариант 2
№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против диаметра основания, равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
№ 2. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а угол между диагоналями — 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если большая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.
№ 3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны 8 см2 и 15 см2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если плоскости проведённых сечений перпендикулярны.
Вариант 3
№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см, а угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
№ 2. Прямоугольник АВСВ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, АВ = 6 см, ∠АВВ = 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника АВСВ является высотой цилиндра.
№ 3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны 30 см2 и 20√3 см2. Угол между плоскостями сечений равен 30°. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.
Вариант 4
№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 16 см, а угол между диагоналями осевого сечения, лежащий против образующей, равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
№ 2. Прямоугольник ABCD является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Диагональ прямоугольника равна 16 см, а угол между диагоналями — 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника ABCD является высотой цилиндра.
№ 3. Через образующую цилиндра проведены два сечения, площади которых равны 10 см2 и 16 см2. Угол между плоскостями сечений равен 60°. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через две другие образующие данных сечений.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс «Цилиндр» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 8.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)