Геометрия Мерзляк Самостоятельная 7

Самостоятельная работа № 7 по геометрии с ответами 11 класс «Уравнение плоскости» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 7.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 11 класс
Самостоятельная работа № 7

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 3; ─1) и перпендикулярной прямой АВ, если А (2; ─6; 4), В (6; ─3; 5).
Решение:
1. Найдём направляющий вектор прямой АВ, который будет нормальным вектором искомой плоскости:
\(\vec{n} = \vec{AB} = (6 — 2; -3 — (-6); 5 — 4) = (4; 3; 1)\).
2. Уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) с нормальным вектором \(\vec{n} = (A; B; C)\), имеет вид:
\(A(x — x_0) + B(y — y_0) + C(z — z_0) = 0\).
3. Подставим координаты точки М(2; 3; –1) и вектора \(\vec{n}(4; 3; 1)\):
\(4(x — 2) + 3(y — 3) + 1(z — (-1)) = 0\).
4. Преобразуем уравнение:
\(4(x — 2) + 3(y — 3) + (z + 1) = 0\)
\(4x — 8 + 3y — 9 + z + 1 = 0\)
\(4x + 3y + z — 16 = 0\).
ОТВЕТ: \(4x + 3y + z — 16 = 0\)

№ 2. Докажите, что плоскости 2х ─ у + 4z ─ 20 = 0 и 3х ─ 14y ─ 5z + 32 = 0 перпендикулярны.
Решение:
1. Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю.
2. Найдём нормальные векторы:
\(\vec{n_1} = (2; -1; 4)\) — для первой плоскости,
\(\vec{n_2} = (3; -14; -5)\) — для второй плоскости.
3. Вычислим скалярное произведение:
\(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-14) + 4 \cdot (-5) = 6 + 14 — 20 = 0\).
4. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, перпендикулярны и плоскости.
ОТВЕТ: Плоскости перпендикулярны, так как \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\).

№ 3. Рёбра АВ, AD и АА₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно равны 2 см, 1 см и 3 см. Найдите расстояние от точки С₁ до плоскости BA₁D.
Решение:
1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А.
* Ось X: вдоль AB, AB = 2 → B(2, 0, 0)
* Ось Y: вдоль AD, AD = 1 → D(0, 1, 0)
* Ось Z: вдоль AA₁, AA₁ = 3 → A₁(0, 0, 3)
2. Найдём координаты нужных точек:
* A(0, 0, 0)
* B(2, 0, 0)
* D(0, 1, 0)
* A₁(0, 0, 3)
* C₁: Точка C находится в (2, 1, 0), так как она диагональ основания. Тогда C₁ = (2, 1, 3).
3. Найдём уравнение плоскости BA₁D. Она проходит через точки B(2,0,0), A₁(0,0,3), D(0,1,0).
* Найдём два направляющих вектора плоскости:
\(\vec{BA_1} = A_1 — B = (0-2; 0-0; 3-0) = (-2; 0; 3)\)
\(\vec{BD} = D — B = (0-2; 1-0; 0-0) = (-2; 1; 0)\)
* Найдём нормальный вектор \(\vec{n}\) как векторное произведение:
\(\vec{n} = \vec{BA_1} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 — 3 \cdot 1) — \vec{j}((-2) \cdot 0 — 3 \cdot (-2)) + \vec{k}((-2) \cdot 1 — 0 \cdot (-2)) =\)
\(= \vec{i}(0 — 3) — \vec{j}(0 + 6) + \vec{k}(-2 — 0) = (-3; -6; -2)\). Умножим на -1 для удобства: \(\vec{n} = (3; 6; 2)\).
* Уравнение плоскости: \(3(x — x_0) + 6(y — y_0) + 2(z — z_0) = 0\). Подставим координаты точки B(2,0,0):
\(3(x — 2) + 6(y — 0) + 2(z — 0) = 0\)
\(3x — 6 + 6y + 2z = 0\)
\(3x + 6y + 2z — 6 = 0\).
4. Найдём расстояние от точки C₁(2, 1, 3) до плоскости \(3x + 6y + 2z — 6 = 0\) по формуле:
\(
\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\)
Подставим значения:
\(
\rho = \frac{|3 \cdot 2 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 — 6|}{\sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 6 + 6 — 6|}{\sqrt{9 + 36 + 4}} = \frac{|12|}{\sqrt{49}} = \frac{12}{7}
\)
ОТВЕТ: \(\frac{12}{7}\) см.

Вариант 2

№ 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (─5; 2; ─3) и перпендикулярной прямой АС, если А (7; ─8; 20), С (5; ─2; 16).

№ 2. Докажите, что плоскости 7х ─ 2y + z + 14 = 0 и 4х + 3у ─ 22z ─ 40 = 0 перпендикулярны.

№ 3. Рёбра АВ, AD и АА₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно равны 3 см, 1 см и 4 см. Найдите расстояние от точки А₁ до плоскости ВС₁D.

Вариант 3

№ 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (4; ─2; 7) и перпендикулярной прямой CD, если С (7; 3; ─2), D (4; ─5; 1).

№ 2. Докажите, что плоскости х ─ 5у + 4z ─ 28 = 0 и 3х ─ у ─ 2z + 100 = 0 перпендикулярны.

№ 3. Рёбра АВ, AD и АА₁ прямоугольного параллелепипеда АВСВА₁В₁C₁D₁ соответственно равны 1 см, 2 см и 4 см. Найдите расстояние от точки В₁ до плоскости АD₁С.

Вариант 4

№ 1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 4; ─2) и перпендикулярной прямой ВС, если В (4; ─2; 1), С (5; ─3; 6).

№ 2. Докажите, что плоскости 2х + 4у + 11z ─ 2 = 0 и 5х + 3у ─ 2z + 13 = 0 перпендикулярны.

№ 3. Рёбра АВ, AD и АА₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно равны 1 см, 3 см и 1 см. Найдите расстояние от точки D₁ до плоскости АВ₁С.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс «Скалярное произведение векторов» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 7.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)