Геометрия Мерзляк Самостоятельная 6

Самостоятельная работа № 6 по геометрии с ответами 11 класс «Скалярное произведение векторов» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 6.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 11 класс
Самостоятельная работа № 6

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Найдите косинус угла между векторами а (2; –1; 2) и b (–4; 1; 3).
Решение: Косинус угла между векторами находится по формуле:
cos φ = (a • b) / (|a| * |b|)
1. Найдем скалярное произведение векторов:
a • b = aₓ * bₓ + aᵧ * bᵧ + a_z * b_z = 2 * (–4) + (–1) * 1 + 2 * 3 = –8 – 1 + 6 = –3
2. Найдем длины векторов:
|a| = √(aₓ² + aᵧ² + a_z²) = √(2² + (–1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
|b| = √(bₓ² + bᵧ² + b_z²) = √((–4)² + 1² + 3²) = √(16 + 1 + 9) = √26
3. Подставим значения в формулу:
cos φ = (–3) / (3 * √26) = –1 / √26 = –√26 / 26
ОТВЕТ: –√26/26.

№ 2. Даны векторы а и b, |a| = 3, |b| = 2, ∠(а, b) = 60°. Найдите: 1) (2а+ 3b) • а; 2) |2а + 3b|.
Решение: Известно, что a • b = |a| * |b| * cos(∠(a,b)) = 3 * 2 * cos(60°) = 6 * 0.5 = 3
1) (2а + 3b) • а
Используем свойства скалярного произведения (дистрибутивность и линейность):
(2a + 3b) • a = (2a) • a + (3b) • a = 2(a • a) + 3(b • a)
a • a = |a|² = 3² = 9
b • a = a • b = 3
Подставляем: 2 * 9 + 3 * 3 = 18 + 9 = 27
2) |2а + 3b|
Длина вектора равна корню из скалярного квадрата:
|2a + 3b| = √( (2a + 3b) • (2a + 3b) )
Раскроем скалярное произведение:
(2a + 3b) • (2a + 3b) = (2a)•(2a) + (2a)•(3b) + (3b)•(2a) + (3b)•(3b) = 4(a•a) + 6(a•b) + 6(b•a) + 9(b•b)
Упрощаем, учитывая, что a•b = b•a:
= 4|a|² + 12(a•b) + 9|b|²
Подставляем известные значения:
= 4 * 3² + 12 * 3 + 9 * 2² = 4 * 9 + 36 + 9 * 4 = 36 + 36 + 36 = 108
Следовательно:
|2a + 3b| = √108 = √(36 * 3) = 6√3
ОТВЕТ: 1) 27; 2) 6√3.

№ 3. Дана прямая призма АВСА₁В₁С₁. Известно, что АВ = ВС = AA₁, ∠АВС = 120°. Найдите угол между прямыми А₁С и АВ.
Решение: Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости. Прямая AB лежит в основании, прямая A₁C – скрещивающаяся. Построим вектор A₁C и найдем угол между ним и вектором AB.
1. Введем систему координат. Поместим начало координат в точку B.
2. Направим ось X вдоль луча BA. Тогда вектор AB будет лежать на оси X.
Пусть |AB| = |BC| = |AA₁| = 1 (для простоты вычислений).
Тогда координаты точек:
B(0; 0; 0)
A(1; 0; 0) (так как AB = 1 и лежит на оси X)
C: из условия ∠ABC = 120°. Вектор BC имеет длину 1 и образует угол 120° с вектором BA (направленным по оси X). Поэтому его координаты:
C(cos 120°; sin 120°; 0) = (–1/2; √3/2; 0)
A₁: находится над точкой A на высоте призмы, равной 1. A₁(1; 0; 1)
C₁: находится над точкой C. C₁(–1/2; √3/2; 1)
3. Найдем вектор A₁C. Для этого из координат точки C вычтем координаты точки A₁:
A₁C = C – A₁ = (–1/2 – 1; √3/2 – 0; 0 – 1) = (–3/2; √3/2; –1)
4. Вектор AB = A – B = (1 – 0; 0 – 0; 0 – 0) = (1; 0; 0)
5. Найдем косинус угла φ между векторами A₁C и AB:
cos φ = (A₁C • AB) / (|A₁C| * |AB|)
Скалярное произведение:
A₁C • AB = (–3/2)*1 + (√3/2)*0 + (–1)*0 = –3/2
Длины векторов:
|AB| = 1
|A₁C| = √( (–3/2)² + (√3/2)² + (–1)² ) = √(9/4 + 3/4 + 1) = √(12/4 + 1) = √(3 + 1) = √4 = 2
Подставляем:
cos φ = (–3/2) / (2 * 1) = (–3/2) / 2 = –3/4
Угол между прямыми – это острый угол, поэтому берем модуль косинуса и находим угол:
φ = arccos(3/4)
ОТВЕТ: arccos(3/4).

Вариант 2

№ 1. Найдите косинус угла между векторами а (5; ─1; ─2) и b (2; 6; ─3).

№ 2. Даны векторы а и b, |а| = 4√2, |b| = 5, ∠(a, b) = 45°. Найдите: 1) (2b + 5а) • а; 2) |2b + 5а|.

№ 3. Дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что АС = ВС = AA₁. ∠ACВ = 90°. Найдите угол между прямыми АВ₁ и ВС.

Вариант 3

№ 1. Найдите косинус угла между векторами а (─1; 1; ─1) и b (─4; 4; 2).

№ 2. Даны векторы а и b, |а| = 6, |b| = √3, ∠(a, b) = 30°. Найдите: 1) (4b ─ 3а) • а; 2) |4b ─ 3а|.

№ 3. Дана прямая призма АВСВА₁В₁С₁В₁. Известно, что АВ = ВС = AA₁, ∠АВС = 120°. Найдите угол между прямыми С₁A и ВС.

Вариант 4

№ 1. Найдите косинус угла между векторами а (─2; 3; 6) и b (4; 1; ─ 2).

№ 2. Даны векторы а и b, |а| = 4, |b| = 3, ∠(a, b) = 60°. Найдите: 1) (3b ─ 2а) • b; 2) |3b ─ 2а|.

№ 3. Дана прямая призма АВСВА₁В₁С₁D₁. Известно, что АВ = АС = AA₁, ∠BAC = 90°. Найдите угол между прямыми В₁С и АВ.

Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс «Скалярное произведение векторов» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 6.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)