Геометрия Мерзляк Самостоятельная 5

Самостоятельная работа № 5 по геометрии с ответами 11 класс «Умножение вектора на число. Гомотетия» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 5.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 11 класс
Самостоятельная работа № 5

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Найдите координаты образа точки В (2; –15; 8) при гомотетии с центром в точке А (─1; 3; 5) и коэффициентом гомотетии k = 2/3.
Решение: Гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k преобразует точку B в точку B’ по формуле:
B’ = A + k * (B — A)
1. Найдём координаты вектора AB = B — A:
AB = (2 — (-1); -15 — 3; 8 — 5) = (3; -18; 3)
2. Умножим вектор AB на коэффициент k = 2/3:
(2/3)*AB = (2/3 * 3; 2/3 * (-18); 2/3 * 3) = (2; -12; 2)
3. Найдём координаты точки B’, прибавив полученный вектор к координатам центра A:
B’ = A + (2/3)*AB = (-1 + 2; 3 + (-12); 5 + 2) = (1; -9; 7)
ОТВЕТ: (1; -9; 7)

№ 2. Через точку М, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 243 см², а точка М делит её высоту в отношении 4 : 5, считая от вершины пирамиды.
Решение: Плоскость, параллельная основанию, отсекает от пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
1. Пусть высота исходной пирамиды H делится точкой M на отрезки 4x (от вершины) и 5x (до основания). Тогда высота отсечённой (малой) пирамиды равна h = 4x, а высота исходной пирамиды H = 4x + 5x = 9x.
2. Коэффициент подобия малой и исходной пирамид равен отношению их высот:
k = h / H = (4x) / (9x) = 4/9
3. Отношение площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия:
S_мал / S_бол = k²
S_мал / 243 = (4/9)²
S_мал / 243 = 16/81
4. Находим искомую площадь меньшего основания:
S_мал = 243 * (16/81) = (243 / 81) * 16 = 3 * 16 = 48
ОТВЕТ: 48 см²

№ 3. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани АВС пересекаются в точке О. Точка F — середина ребра CD. Выразите вектор OF через векторы СА, СВ и CD.
Решение: 

ОТВЕТ: OF = ½ • CD – ¹/₃ • CA – ¹/₃ • CB.

Вариант 2

№ 1. Найдите координаты образа точки С (─11; 19; 15) при гомотетии с центром в точке В (3; ─2; 8) и коэффициентом гомотетии к = 4/7.

№ 2. Высота пирамиды равна 24 см. Через точку D, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны 45 см² и 320 см². Найдите расстояние от точки D до основания данной пирамиды.

№ 3. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ACD пересекаются в точке О. Точка Е — середина ребра АВ. Выразите вектор ЕО через векторы ВА, ВС и BD.

Вариант 3

№ 1. Найдите координаты образа точки В (34; ─52; ─20) при гомотетии с центром в точке С (10; ─22; ─8) и коэффициентом гомотетии k = 5/6.

№ 2. Через точку А, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды равна 36 см². Найдите площадь основания данной пирамиды, если точка А делит её высоту в отношении 3 : 4, считая от вершины пирамиды.

№ 3. Дан тетраэдр ВАВС. Медианы грани ВАD пересекаются в точке О. Точка М — середина ребра ВС. Выразите вектор ОМ через векторы DA, DВ и DС.

Вариант 4

№ 1. Найдите координаты образа точки М (21; ─5; 20) при гомотетии с центром в точке N (13; ─1; ─4) и коэффициентом гомотетии k = ¾.

№ 2. Высота пирамиды равна 14 см. Через точку К, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны 80 см² и 245 см². Найдите расстояние от точки К до основания данной пирамиды.

№ 3. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани BCD пересекаются в точке О. Точка Р — середина ребра AD. Выразите вектор ОР через векторы АВ, АС и AD.

Вы смотрели: Самостоятельная работа № 5 по геометрии с ответами 11 класс «Умножение вектора на число. Гомотетия» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 5.

Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)