Самостоятельная работа № 4 по геометрии с ответами 11 класс «Умножение вектора на число. Гомотетия» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 4.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 11 класс (угл.)
Самостоятельная работа № 4
Вариант 1
№ 1. Найти \(|\vec p|=|7\vec a-4\vec b|\)
Дано:
\( \vec a(1;-1;2),\qquad \vec b(3;-2;-1) \)
Сначала найдём \(7\vec a\) и \(4\vec b\):
\( 7\vec a=(7;-7;14) \)
\( 4\vec b=(12;-8;-4) \)
Тогда:
\( \vec p=7\vec a-4\vec b=(7-12;\ -7-(-8);\ 14-(-4)) \)
\( \vec p=(-5;\ 1;\ 18) \)
Модуль:
\( |\vec p|=\sqrt{(-5)^2+1^2+18^2} \)
\( =\sqrt{25+1+324}=\sqrt{350}=5\sqrt{14} \)
✅ Ответ:
\( |\vec p|=5\sqrt{14} \)
№ 2. Вектор \(\vec b\) противоположно направлен \(\vec a(-3;2;6)\), причём \(|\vec b|=21\)
Если \(\vec b\) противоположно направлен \(\vec a\), то
\( \vec b=-k\vec a,\qquad k>0 \)
Тогда:
\( \vec b=-k(-3;2;6)=(3k;-2k;-6k) \)
Модуль:
\( |\vec b|=\sqrt{(3k)^2+(-2k)^2+(-6k)^2} \)
\( =\sqrt{9k^2+4k^2+36k^2}=\sqrt{49k^2}=7k \)
Так как \(k>0\), получаем:
\( 7k=21 \quad\Rightarrow\quad k=3 \)
Значит:
\( \vec b=(9;-6;-18) \)
✅ Ответ:
\( \vec b(9;-6;-18) \)
№ 3. Доказать, что \(ABCD\) — трапеция
Даны точки:
\( A(2;-3;1),\quad B(-4;2;3),\quad C(6;1;-4),\quad D(22;-5;-13) \)
Четырёхугольник является трапецией, если две его стороны параллельны, а две другие — нет. Проверим векторы сторон. Найдём:
\( \overrightarrow{AB}=B-A=(-4-2;\ 2-(-3);\ 3-1)=(-6;5;2) \)
\( \overrightarrow{BC}=C-B=(6-(-4);\ 1-2;\ -4-3)=(10;-1;-7) \)
\( \overrightarrow{CD}=D-C=(22-6;\ -5-1;\ -13-(-4))=(16;-6;-9) \)
\( \overrightarrow{DA}=A-D=(2-22;\ -3-(-5);\ 1-(-13))=(-20;2;14) \)
Проверим параллельность:
\( \overrightarrow{AB}=(-6;5;2),\qquad \overrightarrow{CD}=(16;-6;-9) \)
Отношения координат:
\( \frac{16}{-6}=-\frac83,\qquad \frac{-6}{5}=-1{,}2,\qquad \frac{-9}{2}=-4{,}5 \)
Не равны — не параллельны.
\( \overrightarrow{BC}=(10;-1;-7),\qquad \overrightarrow{DA}=(-20;2;14) \)
Заметим:
\( \overrightarrow{DA}=(-20;2;14)=-2(10;-1;-7)=-2\overrightarrow{BC} \)
Значит,
\( \overrightarrow{DA}\parallel \overrightarrow{BC} \)
То есть \(BC\parallel AD\).
Проверим, что это именно трапеция, а не параллелограмм. Для параллелограмма нужно ещё \(\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}\), но мы уже видели, что они не параллельны. Значит, \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(BC\) и \(AD\).
✅ Что и требовалось доказать.
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 4.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)