Самостоятельная работа № 3 по геометрии с ответами 11 класс «Сложение и вычитание векторов» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 3.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 11 класс (угл.)
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1
№ 1. Даны \(\vec m(3;-4;5)\) и \(\vec n(-2;3;7)\)
а) \(\vec m+\vec n\)
\( \vec m+\vec n=(3+(-2);\ -4+3;\ 5+7) \)
\( \vec m+\vec n=(1;-1;12) \)
б) \(\vec m-\vec n\)
\( \vec m-\vec n=(3-(-2);\ -4-3;\ 5-7) \)
\( \vec m-\vec n=(5;-7;-2) \)
в) \(|\vec m+\vec n|\)
\( |\vec m+\vec n|=\sqrt{1^2+(-1)^2+12^2} \)
\( =\sqrt{1+1+144}=\sqrt{146} \)
✅ Ответ:
\( \vec m+\vec n=(1;-1;12),\qquad \vec m-\vec n=(5;-7;-2),\qquad |\vec m+\vec n|=\sqrt{146} \)
№ 2. Упростить выражение
\( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{MT}-\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BC} \)
Сгруппируем слагаемые удобным способом. Заметим, что
\( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB} \)
так как \(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}\).
Также
\( -\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA} \)
Значит,
\( \overrightarrow{BK}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{MA} \)
Но это пока не сильно помогает. Попробуем иначе.
Исходное выражение:
\( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{MT}-\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BC} \)
Перепишем:
\( (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MT} \)
\( =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MT} \)
Далее:
\( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK} \)
Значит,
\( \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MT} \)
Теперь:
\( \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MK} \)
Получаем:
\( \overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MT}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{TM}=\overrightarrow{TK} \)
Итак, всё выражение упрощается до:
\( \overrightarrow{TK} \)
✅ Ответ: \( \overrightarrow{TK} \)
№ 3. Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Выразить \(\overrightarrow{C_1C}\) через векторы \(\overrightarrow{DA_1}\), \(\overrightarrow{DB_1}\), \(\overrightarrow{DC_1}\)
Введём базовые векторы рёбер:
\( \overrightarrow{DA}=\vec a,\qquad \overrightarrow{DC}=\vec b,\qquad \overrightarrow{DD_1}=\vec c \)
Тогда:
\( \overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AA_1}=\vec a+\vec c \)
так как \(\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{DD_1}=\vec c\).
\( \overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1}=\vec b+\vec c \)
\( \overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1} \)
Но \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec b\), а \(\overrightarrow{BB_1}=\vec c\). Значит,
\( \overrightarrow{DB_1}=\vec a+\vec b+\vec c \)
Нам нужно выразить \(\overrightarrow{C_1C}\). Заметим:
\( \overrightarrow{C_1C}=-\overrightarrow{CC_1}=-\vec c \)
Теперь найдём \(\vec c\) через данные векторы. Из системы:
\( \overrightarrow{DA_1}=\vec a+\vec c \)
\( \overrightarrow{DC_1}=\vec b+\vec c \)
\( \overrightarrow{DB_1}=\vec a+\vec b+\vec c \)
Сложим первые два:
\( \overrightarrow{DA_1}+\overrightarrow{DC_1}=(\vec a+\vec c)+(\vec b+\vec c)=\vec a+\vec b+2\vec c \)
Вычтем отсюда \(\overrightarrow{DB_1}=\vec a+\vec b+\vec c\):
\( (\overrightarrow{DA_1}+\overrightarrow{DC_1})-\overrightarrow{DB_1}
=(\vec a+\vec b+2\vec c)-(\vec a+\vec b+\vec c)=\vec c \)
Значит,
\( \vec c=\overrightarrow{DA_1}+\overrightarrow{DC_1}-\overrightarrow{DB_1} \)
Следовательно,
\( \overrightarrow{C_1C}=-\vec c
=-\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DC_1}+\overrightarrow{DB_1} \)
Или в более удобном порядке:
\( \overrightarrow{C_1C}=\overrightarrow{DB_1}-\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DC_1} \)
✅ Ответ:
\( \boxed{\overrightarrow{C_1C}=\overrightarrow{DB_1}-\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DC_1}} \)
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 3.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)