Самостоятельная работа № 2 по геометрии с ответами 11 класс «Векторы в пространстве» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 2.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 11 класс (угл.)
Самостоятельная работа № 2
Вариант 1
№ 1. Найдите точку $B_1$, являющуюся образом точки $B(4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-10; 5; 6)$. Найдите модуль вектора $\overrightarrow{B B_{1}}$.
При параллельном переносе на вектор \(\vec a\) точка \(B\) переходит в точку \(B_1\):
\( B_1=B+\vec a \)
Значит:
\( B_1=(4+(-10);\ -5+5;\ 3+6)=(-6;0;9) \)
Модуль вектора \(\overrightarrow{BB_1}\) равен длине вектора переноса \(\vec a\):
\( |\overrightarrow{BB_1}|=|\vec a|=\sqrt{(-10)^2+5^2+6^2} \)
\( =\sqrt{100+25+36}=\sqrt{161} \)
✅ Ответ:
\( B_1(-6;0;9),\qquad |\overrightarrow{BB_1}|=\sqrt{161} \)
№ 2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$:
$A (0;-2;5)$, $B (-4;2;3)$ и $C (6;-4;-1)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $D$.
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали делятся пополам, но удобнее использовать равенство противоположных сторон:
\( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \)
или
\( \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \)
Проще всего:
\( \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \)
Тогда
\( D=A+\overrightarrow{BC} \)
Найдём \(\overrightarrow{BC}\):
\( \overrightarrow{BC}=C-B=(6-(-4);\ -4-2;\ -1-3) \)
\( =(10;-6;-4) \)
Тогда:
\( D=A+\overrightarrow{BC}=(0+10;\ -2-6;\ 5-4) \)
\( D=(10;-8;1) \)
Проверим через равенство \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\):
\( \overrightarrow{AB}=B-A=(-4;-? ) \)
Точнее:
\( \overrightarrow{AB}=(-4-0;\ 2-(-2);\ 3-5)=(-4;4;-2) \)
\( \overrightarrow{DC}=C-D=(6-10;\ -4-(-8);\ -1-1)=(-4;4;-2) \)
Совпадает. Значит, всё верно.
✅ Ответ: \( D(10;-8;1) \)
№ 3. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. На отрезке $AC$ отметили точку $K$. Докажите, что векторы $\vec{B}_1 K,\ \vec{C} B_1$ и $\vec{D} C_1$ являются компланарными.
В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) лежит на отрезке \(AC\).
Нужно доказать, что векторы
\( \overrightarrow{B_1K},\quad \overrightarrow{CB_1},\quad \overrightarrow{DC_1} \)
компланарны.
Введём векторы рёбер. Пусть
\( \overrightarrow{AB}=\vec u,\qquad \overrightarrow{AD}=\vec v,\qquad \overrightarrow{AA_1}=\vec w \)
Тогда:
\( \overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1} \)
Но \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec u\), а \(\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}=\vec w\). Значит,
\( \overrightarrow{DC_1}=\vec u+\vec w \)
Далее:
\( \overrightarrow{CB_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BB_1} \)
\(\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\vec v\), а \(\overrightarrow{BB_1}=\vec w\). Поэтому
\( \overrightarrow{CB_1}=-\vec v+\vec w \)
Теперь точка \(K\) лежит на \(AC\). Значит, для некоторого \(t\in[0;1]\):
\( K=A+t\overrightarrow{AC} \)
Но
\( \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec u+\vec v \)
Поэтому
\( K=A+t(\vec u+\vec v) \)
Тогда
\( \overrightarrow{B_1K}=\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{AK} \)
причём
\( \overrightarrow{B_1A}=-\overrightarrow{AB_1}=-(\vec u+\vec w) \)
а
\( \overrightarrow{AK}=t(\vec u+\vec v) \)
Следовательно,
\( \overrightarrow{B_1K}=-(\vec u+\vec w)+t(\vec u+\vec v) \)
\( =(t-1)\vec u+t\vec v-\vec w \)
Теперь проверим, что вектор \(\overrightarrow{B_1K}\) выражается через \(\overrightarrow{DC_1}\) и \(\overrightarrow{CB_1}\).
Имеем:
\( \overrightarrow{DC_1}=\vec u+\vec w \)
\( \overrightarrow{CB_1}=-\vec v+\vec w \)
Заметим, что
\( \overrightarrow{B_1K}=(t-1)\vec u+t\vec v-\vec w \)
Попробуем представить его в виде:
\( \overrightarrow{B_1K}=\alpha \overrightarrow{DC_1}+\beta \overrightarrow{CB_1} \)
Тогда:
\( \alpha(\vec u+\vec w)+\beta(-\vec v+\vec w)
=\alpha\vec u-\beta\vec v+(\alpha+\beta)\vec w \)
Сравниваем коэффициенты при \(\vec u,\vec v,\vec w\):
\( \alpha=t-1 \)
\( -\beta=t \quad\Rightarrow\quad \beta=-t \)
\( \alpha+\beta=-1 \)
Проверим третье:
\( \alpha+\beta=(t-1)+(-t)=-1 \)
Всё совпало.
Значит,
\( \overrightarrow{B_1K}=(t-1)\overrightarrow{DC_1}-t\overrightarrow{CB_1} \)
То есть вектор \(\overrightarrow{B_1K}\) является линейной комбинацией векторов \(\overrightarrow{DC_1}\) и \(\overrightarrow{CB_1}\).
Следовательно, векторы
\( \overrightarrow{B_1K},\quad \overrightarrow{CB_1},\quad \overrightarrow{DC_1} \)
компланарны. ✅ Что и требовалось доказать.
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 2.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)