Самостоятельная работа № 1 по геометрии с ответами 11 класс «Декартовы координаты точки в пространстве» Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 11 класс (угл.)
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1
№ 1. Точка $M$ принадлежит отрезку $AB$. Известно, что $A(1; -4; 3)$, $M(-1; -2; 1)$. Найдите координаты точки $B$, если: $AM = MB$; $AM : MB = 2 : 3$.
Дано: \(A(1;-4;3)\), \(M(-1;-2;1)\), точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\).
Случай 1: \(AM=MB\)
Тогда \(M\) — середина \(AB\). Значит,
\( M=\frac{A+B}{2} \)
\( B=2M-A \)
\( B=2(-1;-2;1)-(1;-4;3)=(-2;-4;2)-(1;-4;3)=(-3;0;-1) \)
✅ Ответ: \(B(-3;0;-1)\).
Случай 2: \(AM:MB=2:3\)
Пусть \(AM:MB=2:3\). Тогда \(M\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(2:3\), считая от \(A\). Формула:
\( M=\frac{3A+2B}{5} \)
так как \(AM:MB=2:3\), то есть \(M\) ближе к \(A\).
Выразим \(B\):
\( 5M=3A+2B \)
\( 2B=5M-3A \)
\( B=\frac{5M-3A}{2} \)
Подставим:
\( 5M=5(-1;-2;1)=(-5;-10;5) \)
\( 3A=3(1;-4;3)=(3;-12;9) \)
\( 5M-3A=(-5-3;\ -10+12;\ 5-9)=(-8;2;-4) \)
\( B=\frac{(-8;2;-4)}{2}=(-4;1;-2) \)
✅ Ответ: \(B(-4;1;-2)\).
№ 2. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек $A (-2; 3; 1)$ и $B (1; 2; -4)$.
Точка принадлежит оси ординат, значит её координаты имеют вид:
\( P(0;y;0) \)
Она равноудалена от \(A(-2;3;1)\) и \(B(1;2;-4)\), значит
\( PA=PB \)
\( PA^2=PB^2 \)
Считаем:
\( PA^2=(0+2)^2+(y-3)^2+(0-1)^2=4+(y-3)^2+1=5+(y-3)^2 \)
\( PB^2=(0-1)^2+(y-2)^2+(0+4)^2=1+(y-2)^2+16=17+(y-2)^2 \)
Приравниваем:
\( 5+(y-3)^2=17+(y-2)^2 \)
\( 5+y^2-6y+9=17+y^2-4y+4 \)
\( y^2-6y+14=y^2-4y+21 \)
\( -6y+14=-4y+21 \)
\( -2y=7 \)
\( y=-3,5 \)
✅ Ответ: \(P(0;-3,5;0)\).
№ 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$. Известно, что $AB=4\ см,\ AA_1=8\ см.$ Найдите расстояние от точки $C_1$ до центроида тетраэдра $AA_1BD$.
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) основание \(ABCD\) — квадрат, \(AB=4\), \(AA_1=8\).
Введём координаты. Пусть
\( A(0;0;0),\quad B(4;0;0),\quad C(4;4;0),\quad D(0;4;0) \)
тогда
\( A_1(0;0;8),\quad B_1(4;0;8),\quad C_1(4;4;8),\quad D_1(0;4;8) \)
Нужно найти расстояние от \(C_1(4;4;8)\) до центроида тетраэдра \(AA_1BD\).
Центроид тетраэдра — среднее арифметическое координат его вершин. Вершины тетраэдра:
\( A(0;0;0),\quad A_1(0;0;8),\quad B(4;0;0),\quad D(0;4;0) \)
Найдём центроид \(G\):
\( x_G=\frac{0+0+4+0}{4}=1 \)
\( y_G=\frac{0+0+0+4}{4}=1 \)
\( z_G=\frac{0+8+0+0}{4}=2 \)
Значит,
\( G(1;1;2) \)
Расстояние \(C_1G\):
\( C_1G=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2+(8-2)^2} \)
\( =\sqrt{3^2+3^2+6^2} \)
\( =\sqrt{9+9+36}=\sqrt{54}=3\sqrt6 \)
✅ Ответ: \(3\sqrt6\) см.
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии с ответами 11 класс Углубленный уровень 4 варианта УМК Мерзляк. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Геометрия Мерзляк Самостоятельная 1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)