Вероятность и статистика 10-11 класс УМК Высоцкий, Ященко, 2025 г. Задачи №№ 27 — 34 с ответами и решениями. Код материалов: ВиС Решение задач 27-34.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и статистика 10-11 класс
Задачи №№ 27 — 34 с ответами
№ 27. Как изменятся первый и третий квартили числового набора, если:
а) каждое число умножить на 2;
б) каждое число увеличить на 2;
в) каждое число умножить на -1?
Решение:
Квартили являются порядковыми статистиками (позиционными характеристиками).
* а) При умножении всех чисел на константу 2, квартили также умножатся на 2.
* б) При увеличении всех чисел на константу 2, квартили также увеличатся на 2.
* в) При умножении на -1 порядок чисел меняется на противоположный (наибольшие становятся наименьшими). Первый квартиль (нижний) и третий квартиль (верхний) поменяются местами. Новый Q1 = — (старый Q3), новый Q3 = — (старый Q1).
✅ Ответ:
а) Увеличатся в 2 раза.
б) Увеличатся на 2.
в) Первый и третий квартили поменяются местами и изменят знак.
№ 28. На ЕГЭ по математике можно получить от 0 до 100 баллов. По результатам некоторой группы участников экзамена построена диаграмма «ящик с усами» (рис. 9).
а) Достаточно ли информации, отражённой на диаграмме, чтобы определить, есть ли в данных выбросы?
б) Что, по вашему мнению, информативнее — усы или сам ящик?
Решение:
• $Q_1 = 43$ (левый край ящика);
• $Q_2 = 53$ (медиана — вертикальная черта);
• $\bar{x} \approx 60$ (среднее арифметическое — точка);
• $Q_3 = 81$ (правый край ящика).
Найдём межквартильный размах (IQR).
$$
\text{IQR} = Q_3 — Q_1 = 81 — 43 = 38.
$$
Определим границы для выбросов по правилу $1{,}5 \cdot \text{IQR}$.
• Нижняя граница: $Q_1 — 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 43 — 1{,}5 \cdot 38 = 43 — 57 = -14$.
• Верхняя граница: $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 81 + 1{,}5 \cdot 38 = 81 + 57 = 138$.
Поскольку баллы ЕГЭ лежат в диапазоне от 0 до 100, все возможные значения заведомо попадают в интервал $[-14; 138]$. Значит, по формальному правилу выбросов нет.
Но: чтобы точно сказать, есть ли выбросы, нужно видеть концы усов и отдельные точки за усами — на диаграмме. Если на ней нет точек за пределами усов, то выбросов нет; если есть — они и есть выбросы. Сами по себе значения $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ не позволяют однозначно определить наличие выбросов — нужны ещё концы усов или отметки выбросов.
Вывод для пункта а): информации только о квартилях недостаточно, чтобы гарантированно утверждать, есть выбросы или нет. Нужны ещё концы усов либо отметки отдельных точек‑выбросов.
Ответим на пункт б)
• Ящик ($Q_1$, медиана, $Q_3$) показывает центральную половину данных (50 % результатов), отражает типичную вариативность основной массы участников и положение центра распределения. Это ключевая информация о «ядре» результатов.
• Усы показывают диапазон «обычных» значений без выбросов, дают представление о хвостах распределения и о том, насколько далеко могут уходить крайние результаты.
Для общей характеристики успеваемости группы важнее ящик: он сразу показывает, где сосредоточены основные баллы и насколько они разбросаны в центре. Усы полезны, когда важно понимать экстремальные значения (например, сколько участников показали очень низкие или очень высокие результаты).
Вывод: ящик информативнее для понимания типичного уровня и разброса основной части результатов; усы — для анализа крайних значений.
✅ Ответ:
а) Нет, информации недостаточно: по одним только квартилям нельзя определить наличие выбросов — для этого нужны концы усов либо отметки выбросов на диаграмме.
б) Ящик информативнее для характеристики центральной части распределения (типичных результатов и их разброса), усы — для понимания диапазона и крайних значений.
№ 29. По собранным данным о росте школьников нужно построить диаграмму «ящик с усами». Ящик уже построен (рис. 10). Для построения усов выбирается правило «1,5 межквартильных размаха».
Определите:
а) медиану и квартили;
б) среднее арифметическое данных;
в) межквартильный размах;
г) границы интервала, охваченного усами;
д) будет ли при выбранном правиле являться выбросом значение 187.
Дано:
• левый край ящика ($Q_1$) = 146;
• медиана ($Q_2$) = 160 (вертикальная черта);
• среднее арифметическое ($\bar{x}$) ≈ 158 (точка);
• правый край ящика ($Q_3$) = 162.
а) Медиана и квартили.
• $Q_1 = 146$;
• $Q_2 = 160$;
• $Q_3 = 162$.
б) Среднее арифметическое данных.
Среднее арифметическое указано на диаграмме точкой — примерно 158.
Ответ: $\bar{x} \approx 158$.
в) Межквартильный размах.
$$
\text{IQR} = Q3 — Q1 = 162 — 146 = 16.
$$
г) Границы интервала, охваченного усами.
Правило «1,5 IQR»:
• Нижняя граница: $Q_1 — 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 146 — 1{,}5 \cdot 16 = 146 — 24 = 122$.
• Верхняя граница: $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR} = 162 + 1{,}5 \cdot 16 = 162 + 24 = 186$.
д) Будет ли значением 187 выбросом?
Значение 187 > 186, значит, оно выходит за верхнюю границу и является выбросом.
✅ Ответ:
а) $Q1 = 146$, $Q2 = 160$, $Q_3 = 162$;
б) $\bar{x} \approx 158$;
в) $\text{IQR} = 16$;
г) интервал усов: $[122; 186]$;
д) да, 187 — выброс.
№ 30. По некоторым данным построена диаграмма «ящик с усами» (рис. 11). Являются ли истинными высказываниями следующие утверждения?
а) Среднее арифметическое данных больше медианы.
б) Не меньше половины значений не превосходят число 68.
в) Наибольшее значение массива данных равно 111.
г) Межквартильный размах равен 22.
Дано:
• $Q_1 = 55$ (левый край ящика);
• $Q_2 = 72$ (медиана — вертикальная черта);
• $\bar{x} \approx 67$ (среднее арифметическое — точка);
• $Q_3 = 77$ (правый край ящика);
• левый ус заканчивается примерно на 50;
• правый ус — примерно на 85.
Шаг 1. Вычислим межквартильный размах (IQR).
$$
\text{IQR} = Q3 — Q1 = 77 — 55 = 22.
$$
Шаг 2. Проверим утверждение а: «Среднее арифметическое данных больше медианы».
Среднее $\bar{x} \approx 67$, медиана $Q_2 = 72$. Так как $67 < 72$, среднее не больше медианы.
Вывод: утверждение ложно → нет.
Шаг 3. Проверим утверждение б: «Не меньше половины значений не превосходят число 68».
Медиана равна 72, значит, ровно 50 % значений не превосходят 72. Число 68 меньше медианы, поэтому доля значений, не превосходящих 68, строго меньше 50 %.
Следовательно, условие «не меньше половины» не выполняется.
Вывод: утверждение ложно → нет.
Шаг 4. Проверим утверждение в: «Наибольшее значение массива данных равно 111».
Правый ус заканчивается примерно на 85, значит, максимальное наблюдаемое значение (без выбросов) — около 85. Если бы было значение 111, оно либо было бы концом уса, либо отмечено как выброс (отдельной точкой). На диаграмме такого нет.
Вывод: утверждение ложно → нет.
Шаг 5. Проверим утверждение г: «Межквартильный размах равен 22».
Как посчитано в шаге 1: $\text{IQR} = 77 — 55 = 22$.
Вывод: утверждение истинно → да.
Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да.
№ 31. Постройте ящик с усами по данным задачи 22 а.
Решение:
Данные из №22а: 3,8; 3,8; 4,1; 4,1; 4,2; 4,2; 4,3; 4,5; 4,8; 5,0; 5,1; 5,1; 5,3; 5,8; 5,8.
Q1 = 4,1; Q3 = 5,1; Медиана = 4,5.
Межквартильный размах IQR = 5,1 — 4,1 = 1,0.
Границы усов:
Нижняя граница: Q1 — 1,5*IQR = 4,1 — 1,5 = 2,6. Минимальное значение в наборе (3,8) > 2,6, поэтому нижний ус тянется до 3,8.
Верхняя граница: Q3 + 1,5*IQR = 5,1 + 1,5 = 6,6. Максимальное значение в наборе (5,8) < 6,6, поэтому верхний ус тянется до 5,8.
Выбросов нет.
*Ящик с усами строится на числовой прямой. Ящик от Q1 (4,1) до Q3 (5,1). Линия внутри ящика на медиане (4,5). Усы от краев ящика до минимального (3,8) и максимального (5,8) значений.*
✅ Ответ:
Ящик с усами строится по следующим параметрам: Min=3,8; Q1=4,1; Med=4,5; Q3=5,1; Max=5,8. Выбросов нет.
№ 32. Постройте ящик с усами по данным о численности населения городов-миллионеров из таблицы 12.
Решение:
Данные (население в тыс. чел.): 13010, 5602, 1634, 1544, 1309, 1226, 1190, 1188, 1173, 1145, 1142, 1126, 1099, 1058, 1034, 1028.
Упорядочим: 1028, 1034, 1058, 1099, 1126, 1142, 1145, 1173, 1188, 1190, 1226, 1309, 1544, 1634, 5602, 13010.
n=16.
Медиана = (1173+1188)/2 = 1180,5.
Q1 = медиана первой половины (1028, 1034, 1058, 1099, 1126, 1142, 1145, 1173) = (1099+1126)/2 = 1112,5.
Q3 = медиана второй половины (1188, 1190, 1226, 1309, 1544, 1634, 5602, 13010) = (1309+1544)/2 = 1426,5.
IQR = 1426,5 — 1112,5 = 314.
Границы усов:
Нижняя: Q1 — 1,5*IQR = 1112,5 — 471 = 641,5. Минимальное значение (1028) > 641,5. Нижний ус до 1028.
Верхняя: Q3 + 1,5*IQR = 1426,5 + 471 = 1897,5. Максимальное значение (13010) > 1897,5. Значит, есть выбросы.
Выбросы: все значения больше 1897,5: 5602 (Санкт-Петербург) и 13010 (Москва). Это будут точки за пределами усов. Верхний ус потянется до наибольшего значения, не являющегося выбросом, то есть до 1634 (Новосибирск).
✅ Ответ: Ящик с усами строится по параметрам: Min=1028; Q1=1112,5; Med=1180,5; Q3=1426,5; Max без выбросов=1634. Выбросы: 5602 (Санкт-Петербург) и 13010 (Москва).
№ 33. Запишите какой-нибудь массив числовых данных, которому соответствует ящик с усами (рис. 12), если известно, что в наборе:
а) нет выбросов;
б) есть один выброс в большую сторону;
в) есть один выброс в большую сторону и один — в меньшую.
№ 34. Тип климата определяется на основе разных показателей. Разброс температур в приморских местностях невысокий (морской климат), умеренный климат характеризуется более высоким разбросом месячных температур, а континентальный климат — очень высоким. В районах с континентальным климатом жаркое лето и очень холодная зима.
По данным о среднемесячных температурах в Москве и в Хабаровске метеоролог построил ящик с усами (рис. 13). Усы построены по правилу «от наименьшего значения до наибольшего».
а) Определите, какая диаграмма какому из городов соответствует.
б) Как вы думаете, почему метеоролог не стал строить усы длиной в 1,5 межквартильных размаха?
Вы смотрели: Вероятность и статистика 10-11 класс УМК Высоцкий, Ященко, 2025 г. Задачи с ответами и решениями. Код материалов: ВиС Решение задач 27-34.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника