Вероятность и статистика 10-11 класс УМК Высоцкий, Ященко, 2025 г. Задачи №№ 21 — 26 с ответами и решениями. Код материалов: ВиС Решение задач 21-26.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и статистика 10-11 класс
Задачи №№ 21 — 26 с ответами
№ 21. На координатной прямой точками изображён числовой набор из семи чисел (рис. 7). Найдите квартили и межквартильный размах этого набора.
Запишем упорядоченный набор из семи элементов.
Пусть координаты семи точек (в порядке возрастания) — это $x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7$.
Согласно рисунку 7, они соответствуют точкам $a, b, c, d, e, f, g$.
Найдём медиану (второй квартиль $Q_2$).
Для нечётного количества элементов ($n=7$) медиана — это центральный элемент, то есть четвёртый по счёту:
$$
Q2 = x4 \quad \text{(координата точки $d$)}.
$$
Найдём первый квартиль $Q_1$.
Первый квартиль — это медиана нижней половины набора без учёта медианы всего набора.
Нижняя половина: $x1, x2, x3$. В ней нечётное количество элементов, поэтому медиана — центральный элемент:
$$
Q1 = x2 \quad \text{(координата точки $b$)}.
$$
Найдём третий квартиль $Q_3$.
Третий квартиль — это медиана верхней половины набора без учёта медианы всего набора.
Верхняя половина: $x5, x6, x_7$. Медиана — центральный элемент:
$$
Q3 = x6 \quad \text{(координата точки $f$)}.
$$
Найдём межквартильный размах (IQR).
Межквартильный размах — это разность между третьим и первым квартилями:
$$
\text{IQR} = Q3 — Q1 = x6 — x2 \quad \text{(разность координат точек $f$ и $b$)}.
$$
✅ Ответ:
• первый квартиль $Q1 = x2$ (координата точки $b$);
• второй квартиль $Q2 = x4$ (координата точки $d$);
• третий квартиль $Q3 = x6$ (координата точки $f$);
• межквартильный размах $\text{IQR} = x6 — x2$ (разность координат точек $f$ и $b$).
№ 22. Найдите первый и третий квартили и межквартильный размах числового набора:
а) х = (4,2, 3,8, 4,5, 5,3, 5,8, 5,1, 4,8, 4,3, 4,1, 5,0, 4,1, 5,1, 5,8, 3,8, 4,2);
б) х = (96, 83, 51, 78, 52, 66, 58, 87);
в) х = (1, 0, 2, 4, 0, 1, 1, 1, 2, 5, 3, 0, 1, 2).
Решение:
Для нахождения квартилей нужно упорядочить данные по возрастанию.
* а) Упорядоченный ряд: 3,8; 3,8; 4,1; 4,1; 4,2; 4,2; 4,3; 4,5; 4,8; 5,0; 5,1; 5,1; 5,3; 5,8; 5,8 (n=15).
Медиана (Q2) — 8-й элемент: 4,5.
Первый квартиль Q1 — медиана первой половины (первые 7 элементов): 4,1.
Третий квартиль Q3 — медиана второй половины (последние 7 элементов): 5,1.
Межквартильный размах IQR = Q3 — Q1 = 5,1 — 4,1 = 1,0.
* б) Упорядоченный ряд: 51, 52, 58, 66, 78, 83, 87, 96 (n=8).
Q1 — медиана первой половины (первые 4 элемента): (52+58)/2 = 55.
Q3 — медиана второй половины (последние 4 элемента): (83+87)/2 = 85.
IQR = 85 — 55 = 30.
* в) Упорядоченный ряд: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5 (n=14).
Q1 — медиана первой половины (первые 7 элементов): 1.
Q3 — медиана второй половины (последние 7 элементов): 2.
IQR = 2 — 1 = 1.
✅ Ответ:
а) Q1=4,1; Q3=5,1; IQR=1,0.
б) Q1=55; Q3=85; IQR=30.
в) Q1=1; Q3=2; IQR=1.
№ 23. Найдите среднее арифметическое и 50%-е урезанное среднее плотности населения стран Южной Европы по данным таблицы 6. Какое из этих средних, по вашему мнению, лучше описывает плотность населения типичной южноевропейской страны?
Решение:
Данные (плотность): 46, 76, 79, 83, 86, 95, 98, 103, 105, 117, 167, 205, 350, 1315, 1818, 16500. Всего n=16.
Среднее арифметическое = (46+76+79+83+86+95+98+103+105+117+167+205+350+1315+1818+16500) / 16 = 21143 / 16 = 1321,4375.
Для 50%-го урезанного среднего отбрасываем по 25% данных сверху и снизу. 25% от 16 = 4. Отбрасываем 4 наименьших (46, 76, 79, 83) и 4 наибольших (1315, 1818, 16500, 350? Стоп, нужно упорядочить).
Упорядоченный ряд: 46, 76, 79, 83, 86, 95, 98, 103, 105, 117, 167, 205, 350, 1315, 1818, 16500.
Отбрасываем 4 первых и 4 последних числа. Остаются: 86, 95, 98, 103, 105, 117, 167, 205.
Урезанное среднее = (86+95+98+103+105+117+167+205) / 8 = 976 / 8 = 122.
Из-за огромных выбросов (Монако, Ватикан) среднее арифметическое (1321) сильно завышено. Урезанное среднее (122) лучше отражает плотность типичной (центральной) страны региона.
✅ Ответ:
Среднее арифметическое = 1321 чел./км². 50%-е урезанное среднее = 122 чел./км². Лучше описывает урезанное среднее.
№ 24. На координатной прямой точками отмечен некоторый массив числовых данных (рис. 8). Что больше: среднее арифметическое или 50%-е урезанное среднее этого массива?
Решение.
а) Данные: 2 точки у 0, 2 точки между 6 и 7 (возьмём $6{,}5$), 4 точки между 11 и 12 (возьмём $11{,}5$).
Всего точек: $2 + 2 + 4 = 8$.
Вычислим среднее арифметическое.
$$
\bar{x} = \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 6{,}5 + 4 \cdot 11{,}5}{8} = \frac{0 + 13 + 46}{8} = \frac{59}{8} = 7{,}375.
$$
Вычислим 50%-е урезанное среднее.
При 50%-м усечении отбрасываем по 25 % крайних значений с каждого конца. $25\%$ от 8 — это 2 точки. Удаляем 2 точки слева (значения 0) и 2 точки справа (значения $11{,}5$).
Остаются: 2 точки со значением $6{,}5$ и 2 точки со значением $11{,}5$.
$$
\bar{x}_{\text{урез}} = \frac{2 \cdot 6{,}5 + 2 \cdot 11{,}5}{4} = \frac{13 + 23}{4} = \frac{36}{4} = 9.
$$
Сравним значения.
$7{,}375 < 9$, значит, 50%-е урезанное среднее больше среднего арифметического.
б) Данные: 5 точек между 0 и 1 (возьмём $0{,}5$), 1 точка около 6, 2 точки около 12 (возьмём 12).
Всего точек: $5 + 1 + 2 = 8$.
$$
\bar{x} = \frac{5 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 12}{8} = \frac{2{,}5 + 6 + 24}{8} = \frac{32{,}5}{8} = 4{,}0625.
$$
Удаляем по 2 точки с каждого края.
С левого края убираем 2 точки со значением $0{,}5$.
С правого края убираем 2 точки со значением 12.
Остаются: 3 точки со значением $0{,}5$ и 1 точка со значением 6.
$$
\bar{x}_{\text{урез}} = \frac{3 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 6}{4} = \frac{1{,}5 + 6}{4} = \frac{7{,}5}{4} = 1{,}875.
$$
$4{,}0625 > 1{,}875$. Здесь «тяжёлый» правый хвост (точки 12) сильно завышает общее среднее. При усечении мы удаляем эти крайние значения, и среднее падает.
Значит, среднее арифметическое больше 50%-го урезанного среднего.
в) Данные: 2 точки на 2, 4 точки на 6, 2 точки на 10, 4 точки между 11 и 12 (возьмём $11{,}5$).
Всего точек: $2 + 4 + 2 + 4 = 12$.
Вычислим среднее арифметическое.
$$
\bar{x} = \frac{2 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 10 + 4 \cdot 11{,}5}{12} = \frac{4 + 24 + 20 + 46}{12} = \frac{94}{12} \approx 7{,}83.
$$
Вычислим 50%-е урезанное среднее.
$50\%$ от 12 — это 6 точек. Удаляем по 25 % с каждого конца, то есть по 3 точки.
Упорядоченный набор: $2, 2, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 11{,}5, 11{,}5, 11{,}5, 11{,}5$.
Удаляем 3 минимальных ($2, 2, 6$) и 3 максимальных ($11{,}5, 11{,}5, 11{,}5$).
Остаются: $6, 6, 10, 10, 11{,}5, 11{,}5$.
$$
\bar{x}_{\text{урез}} = \frac{2 \cdot 6 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 11{,}5}{6} = \frac{12 + 20 + 23}{6} = \frac{55}{6} \approx 9{,}17.
$$
Сравним значения.
$7{,}83 < 9{,}17$. Здесь есть «тяжёлый» левый край (много шестёрок и двоек), который занижает общее среднее. При усечении мы убираем эти низкие значения и получаем более высокое среднее из центральной части.
Значит, 50%-е урезанное среднее больше среднего арифметического.
Ответ:
а) 50%-е урезанное среднее больше;
б) среднее арифметическое больше;
в) 50%-е урезанное среднее больше.
№ 25. Приведите пример числового массива, обладающего следующими свойствами: первый квартиль равен 2, третий квартиль равен 8, медиана равна 6, среднее арифметическое равно 5.
Решение:
Пусть массив имеет 7 элементов (нечетное количество, чтобы медиана была элементом ряда): a ≤ b ≤ c ≤ 6 ≤ d ≤ e ≤ f.
Q1 = 2, значит a=2, b=2. Q3 = 8, значит e=8, f=8.
Имеем: 2, 2, c, 6, d, 8, 8.
Среднее = (2+2+c+6+d+8+8) / 7 = (26 + c + d) / 7 = 5.
Отсюда c + d = 35 — 26 = 9.
Так как c ≤ 6 и d ≥ 6, подходят c=3, d=6 или c=4, d=5.
Массив: 2, 2, 3, 6, 6, 8, 8. Проверка: Q1=2, Q3=8, m=6, среднее = (2+2+3+6+6+8+8)/7 = 35/7 = 5.
✅ Ответ: например, массив: 2, 2, 3, 6, 6, 8, 8.
№ 26. Обозначим квартили и медиану числового массива К1, К3 и m. Существует ли массив, у которого:
а) К1 = 11, m = 12, К3 = 13;
б) К1 = 11, m = 11, К3 = 13;
в) К1 = 12, m = 11, К3 = 13;
г) К1 = 13, m = 12, К3 = 11?
Решение:
По определению, для любого числового массива должно выполняться: К1 ≤ m ≤ К3.
* а) 11 < 12 < 13. Условие выполнено. Пример: 11, 11, 12, 12, 13, 13.
* б) 11 = 11 < 13. Условие выполнено. Пример: 11, 11, 11, 13, 13, 13.
* в) 12 > 11. Условие m ≥ К1 нарушено. Такой массив не существует.
* г) 13 > 12 > 11, но К1 = 13, а К3 = 11. Условие К1 ≤ К3 нарушено. Такой массив не существует.
✅ Ответ:
а) Да, пример: 11, 11, 12, 12, 13, 13.
б) Да, пример: 11, 11, 11, 13, 13, 13.
в) Нет, так как медиана не может быть меньше первого квартиля.
г) Нет, так как первый квартиль не может быть больше третьего.
Вы смотрели: Вероятность и статистика 10-11 класс УМК Высоцкий, Ященко, 2025 г. Задачи с ответами и решениями. Код материалов: ВиС Решение задач 21-26.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника