Вероятность и статистика 10-11 класс УМК Высоцкий, Ященко, 2025 г. Задачи №№ 11 — 20 с ответами и решениями. Код материалов: ВиС Решение задач 11-20.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Вероятность и статистика 10-11 класс
Задачи №№ 11 — 20 с ответами
№ 11. В какой из четырёх баскетбольных команд по крайней мере половина спортсменов имеет рост не менее 198 см?
В команде А средний рост равен 200 см.
В команде Б медиана роста равна 199 см.
В команде В самый низкий спортсмен имеет рост 197 см.
В команде Г рост самого высокого спортсмена равен 202 см.
Решение:
Условие «по крайней мере половина спортсменов имеет рост не менее 198 см» означает, что медиана (50-й процентиль) должна быть ≥ 198 см.
* Команда А: Среднее = 200 см. Среднее не даёт информации о медиане (например, один высокий может поднять среднее, а остальные — низкие). Не подходит.
* Команда Б: Медиана = 199 см. Это значит, что ровно половина спортсменов имеет рост ≥ 199 см. Поскольку 199 > 198, условие выполняется.
* Команда В: Самый низкий = 197 см. Это значит, что *все* спортсмены имеют рост ≥ 197 см, но мы не знаем, сколько из них имеют рост ≥ 198 см. Не подходит.
* Команда Г: Самый высокий = 202 см. Это ничего не говорит об остальных. Не подходит.
✅ Ответ: Команда Б.
№ 12. У всех студентов одного курса математического факультета в среднем 22,425 однокурсниц. Сколько на этом курсе девушек?
Решение:
Пусть \( x \) — количество девушек, \( y \) — количество юношей. Общее количество студентов: \( x + y \). Фраза «в среднем 22,425 однокурсниц» означает, что если у каждого студента спросить, сколько на курсе девушек (не считая его самого, если он девушка), то среднее этих чисел равно 22,425.
Сумма всех таких чисел: каждая девушка назовёт \( x-1 \) (не считая себя), каждый юноша назовёт \( x \). Всего студентов \( x+y \).
Среднее = \( \frac{(x-1)x + y \cdot x}{x+y} = \frac{x^2 — x + xy}{x+y} = \frac{x(x+y-1)}{x+y} = 22,425 \).
Так как \( x \) и \( y \) — целые числа, а 22,425 — это \( \frac{897}{40} \), то \( \frac{x(x+y-1)}{x+y} = \frac{897}{40} \).
Пусть \( n = x+y \) — общее число студентов. Тогда \( \frac{x(n-1)}{n} = 22,425 \).
\( x(n-1) = 22,425n \).
\( xn — x = 22,425n \).
\( x(n-1) = 22,425n \).
Так как \( x \) целое, а \( 22,425 = \frac{897}{40} \), то \( n \) должно делиться на 40, чтобы \( x \) был целым. Пусть \( n=40 \). Тогда \( x(39) = 897 \), \( x = 897/39 = 23 \). Проверка: если девушек 23, юношей 17, то среднее число однокурсниц = \( \frac{23 \cdot 22 + 17 \cdot 23}{40} = \frac{506+391}{40} = \frac{897}{40} = 22,425 \).
✅ Ответ: 23 девушки.
№ 13. Есть ли, по вашему мнению, в наборе числовых данных выброс? Если есть, то какой?
а) 0,10, 0,15, 0,89, 9,11, 0,78, 1,03, 1,10;
б) 15, 89, 57, 24, 55, 41, 76, 33, 19;
в) 134,8, 121,4, 1,23, 154,0, 132,2, 119,3, 127,4.
Решение:
а) Почти все числа меньше 1,10, а число 9,11 резко выделяется. Это явный выброс.
б) Упорядочим: 15, 19, 24, 33, 41, 55, 57, 76, 89. Все числа лежат в диапазоне от 15 до 89, резких скачков нет. Выбросов нет.
в) Почти все числа около 120–150, а число 1,23 резко выбивается. Это явный выброс.
✅ Ответ: а) Да, 9,11. б) Нет. в) Да, 1,23.
№ 14. Сведения о площадях территорий субъектов Российской Федерации, расположенных в Сибирском федеральном округе, собраны в таблице 11.
Найдите медиану и среднее арифметическое площадей субъектов, входящих в Сибирский федеральный округ. Удалите выброс (площадь Красноярского края) и ещё раз найдите медиану и среднее. На сколько процентов изменилась медиана после удаления выброса? На сколько процентов изменилось среднее?
Решение: Всего субъектов: 10.
Упорядочим все площади (км²):
61 569, 92 903, 95 725, 141 140, 167 996, 168 604, 177 756, 314 391, 774 846, 2 366 797.
1) Медиана (для 10 чисел — среднее 5-го и 6-го): (167 996 + 168 604)/2 = 168 300.
Среднее арифметическое (сумма всех): 61 569 + 92 903 + 95 725 + 141 140 + 167 996 + 168 604 + 177 756 + 314 391 + 774 846 + 2 366 797 = 4 361 727. Среднее = 4 361 727 / 10 = 436 172,7.
2) Удаляем выброс (Красноярский край, 2 366 797). Осталось 9 чисел.
Упорядочим: 61 569, 92 903, 95 725, 141 140, 167 996, 168 604, 177 756, 314 391, 774 846.
Медиана (5-е число): 167 996.
Среднее (сумма без выброса): 4 361 727 — 2 366 797 = 1 994 930. Среднее = 1 994 930 / 9 ≈ 221 658,9.
3) Изменение медианы: была 168 300, стала 167 996. Изменение = 168 300 — 167 996 = 304.
Процент изменения: \( \frac{304}{168300} \cdot 100\% \approx 0,18\% \) (уменьшилась на 0,18%).
4) Изменение среднего: было 436 172,7, стало 221 658,9. Изменение = 436 172,7 — 221 658,9 = 214 513,8.
Процент изменения: \( \frac{214513,8}{436172,7} \cdot 100\% \approx 49,2\% \) (уменьшилось примерно на 49,2%).
✅ Ответ:
Медиана (с выбросом): 168 300, среднее: 436 173.
Медиана (без выброса): 167 996, среднее: 221 659.
Медиана изменилась на 0,18%, среднее изменилось на 49,2%.
№ 15. Массив состоит из 25 различных положительных чисел, медиана равна 60. Какой станет медиана массива, если:
*а) наименьшее число уменьшить в 20 раз;*
*б) наибольшее число увеличить в 5 раз;*
*в) все числа уменьшить в 20 раз;*
*г) все числа увеличить в 5 раз?*
Решение:
Медиана для 25 чисел — это 13-е число в упорядоченном ряду (12 чисел меньше или равны, 12 — больше или равны, и одно — медиана).
а) Уменьшение наименьшего числа не меняет порядок в середине ряда. Медиана останется 60.
б) Увеличение наибольшего числа не меняет порядок в середине ряда. Медиана останется 60.
в) Если все числа уменьшить в 20 раз, медиана тоже уменьшится в 20 раз: 60/20 = 3.
г) Если все числа увеличить в 5 раз, медиана тоже увеличится в 5 раз: 60*5 = 300.
✅ Ответ: а) 60; б) 60; в) 3; г) 300.
№ 16. В наборе 50 чисел, их среднее арифметическое равно 3,6. Чему станет равно среднее арифметическое, если все числа набора:
*а) умножить на 5;*
*б) умножить на 10;*
*в) увеличить на 2,4;*
*г) уменьшить на 15?*
Решение:
Свойство среднего арифметического: если каждое число набора умножить на константу \( k \), среднее умножится на \( k \). Если каждое число увеличить/уменьшить на константу \( c \), среднее увеличится/уменьшится на \( c \).
а) \( 3,6 \cdot 5 = 18 \).
б) \( 3,6 \cdot 10 = 36 \).
в) \( 3,6 + 2,4 = 6 \).
г) \( 3,6 — 15 = -11,4 \).
✅ Ответ: а) 18; б) 36; в) 6; г) -11,4.
№ 17. В наборе 20 чисел, их среднее арифметическое равно 4,8. Чему станет равно среднее арифметическое, если:
*а) наибольшее число увеличить на 4;*
*б) наименьшее число уменьшить на 16?*
Решение:
Сумма всех чисел равна \( 20 \cdot 4,8 = 96 \).
а) Если увеличить одно число на 4, сумма увеличится на 4. Новая сумма = 96 + 4 = 100. Новое среднее = 100 / 20 = 5.
б) Если уменьшить одно число на 16, сумма уменьшится на 16. Новая сумма = 96 — 16 = 80. Новое среднее = 80 / 20 = 4.
✅ Ответ: а) 5; б) 4.
№ 18. Докажите, что если все числа в массиве данных сдвинуть на одно и то же число влево или вправо, то медиана и среднее арифметическое сдвинутся на это же число.
Решение:
Пусть массив \( x_1, x_2, …, x_n \). Сдвиг на число \( c \) означает, что новое число \( y_i = x_i + c \).
*Среднее:* \( \bar{y} = \frac{1}{n}\sum (x_i + c) = \frac{1}{n}\sum x_i + \frac{1}{n} \cdot nc = \bar{x} + c \).
*Медиана:* Если числа упорядочены, то \( x_{(1)} \le x_{(2)} \le … \le x_{(n)} \). После сдвига порядок сохраняется: \( x_{(1)}+c \le x_{(2)}+c \le … \le x_{(n)}+c \). Медиана — это серединный элемент (или среднее двух серединных). Если медиана исходного ряда равна \( m \), то после сдвига она станет \( m + c \).
✅ Ответ: Доказано.
№ 19. Докажите, что если каждое значение массива умножить на одно и то же число, то среднее и медиана массива умножатся на это же число.
Решение:
Пусть массив \( x_1, x_2, …, x_n \). Умножение на число \( k \) означает, что новое число \( y_i = k \cdot x_i \).
*Среднее:* \( \bar{y} = \frac{1}{n}\sum (k \cdot x_i) = k \cdot \frac{1}{n}\sum x_i = k \cdot \bar{x} \).
*Медиана:* Если числа упорядочены, то \( x_{(1)} \le x_{(2)} \le … \le x_{(n)} \). При умножении на положительное \( k \) порядок сохраняется (если \( k \) отрицательное, порядок меняется на обратный, но медиана всё равно умножится на \( k \)). Медиана исходного ряда \( m \) станет \( k \cdot m \).
✅ Ответ: Доказано.
№ 20. Медиана числового набора х равна 25, а среднее арифметическое равно 50. Найдите медиану и среднее арифметическое числового набора у, который получен из набора х с помощью линейной функции:
*а) у = 10(х + 3), то есть каждое число набора х сначала увеличивается на 3, а потом результат умножается на 10;*
*б) у = 10х + 3, то есть каждое число набора х сначала умножается на 10, а результат увеличивается на 3.*
Решение:
а) \( y = 10(x + 3) = 10x + 30 \).
Среднее: \( \bar{y} = 10\bar{x} + 30 = 10 \cdot 50 + 30 = 500 + 30 = 530 \).
Медиана: \( m_y = 10 m_x + 30 = 10 \cdot 25 + 30 = 250 + 30 = 280 \).
б) \( y = 10x + 3 \).
Среднее: \( \bar{y} = 10\bar{x} + 3 = 10 \cdot 50 + 3 = 500 + 3 = 503 \).
Медиана: \( m_y = 10 m_x + 3 = 10 \cdot 25 + 3 = 250 + 3 = 253 \).
✅ Ответ:
а) Среднее = 530, медиана = 280.
б) Среднее = 503, медиана = 253.
Вы смотрели: Вероятность и статистика 10-11 класс УМК Высоцкий, Ященко, 2025 г. Задачи с ответами и решениями. Код материалов: ВиС Решение задач 11-20.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника