Алгебра 11 класс Мерзляк Углубленный ур. Методическое пособие Буцко: Контрольная работа № 1 Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства Варианты 1 ─ 4. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Углубленный Буцко Контрольная 1 В14. Ответов нет!
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра Мерзляк Угл.
Контрольная № 1 из МП
Проверяемая тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства
К─1. Вариант 1
№ 1. Постройте график функции y = |2^x — 4|.
Решение:
Функция ( y = |2^x – 4| ) — это абсолютное значение от выражения ( 2^x — 4 ).
- График функции ( 2^x ) — быстро растущая показательная кривая.
- Вычитаем 4 — значит график сдвигается вниз на 4 единицы: ( y = 2^x — 4 ).
- Затем берём модуль — все отрицательные значения отражаются относительно оси x вверх.
Особые точки:
- Когда ( 2^x — 4 = 0 ), то есть ( 2^x = 4 ), ( x = 2 ). В этой точке график касается оси x.
- При ( x < 2 ), ( 2^x — 4 < 0 ), функция ( y = |2^x — 4| = 4 — 2^x ) — убывающая кривая.
- При ( x > 2 ), ( y = 2^x — 4 ) — растущая кривая.
Примерные точки графика:
- ( x=0 ), ( y = |1 — 4| = 3 )
- ( x=1 ), ( y = |2 — 4| = 2 )
- ( x=2 ), ( y = |4 — 4| = 0 )
- ( x=3 ), ( y = |8 — 4| = 4 )
- ( x=4 ), ( y = |16 — 4| = 12 )
Ответ: График состоит из двух частей: 1) Левая — отражённая вниз ветвь функции ( 2^x — 4 ) (отрицательные значения под модулем), убывающая к точке (2,0). 2) Правая — обычная растущая кривая ( 2^x -4 ) для ( x ≥ 2 ).
График имеет «острый» угол в точке ( x=2 ), где функция равна нулю.
№ 2. Решите уравнения:
1) 5 в степени (x+2) минус 5 в степени x равно 120;
2) 9 в степени (x─7), умноженное на 3 в степени x, равно 18.
ОТВЕТ: 1) 1; 2) (16 + log3 2)/3.
Решение:
1) Перепишем первое уравнение: 5^(x+2) ─ 5^x = 120.
Так как 5^(x+2) = 5^x 5^2 = 5^x 25, то уравнение становится:
25*5^x ─ 5^x = 120,
24*5^x = 120,
5^x = 5,
следовательно, x = 1.
2) Во втором уравнении заменим 9 на 3^2:
(3^2)^(x─7) * 3^x = 18,
что равно 3^(2(x─7)) * 3^x = 18,
3^(2x ─ 14 + x) = 18,
3^(3x ─ 14) = 18.
Число 18 перепишем как 2 9 = 2 3^2.
Тогда: 3x ─ 14 = логарифм по основанию 3 от 18 = 2 + логарифм по основанию 3 от 2.
Отсюда:
3x = 16 + логарифм по 3 от 2,
x = (16 + логарифм по 3 от 2) / 3 = (16 + log_3(2)) / 3
№ 3. Решите уравнение:
1) (6^{x−2})^{x+1} = (1/6)^x • 36^{x+3};
2) 3 • 4^x + 2 • 9^x = 5 • 6^x;
3) (√[3 + 2√2])^x + (√[3 − 2√2])^x = 6.
№ 4. Решите неравенство:
1) 0,2^{(x^2−2x−24)/(x−2)} ≥ 0,0016;
2) 2^{2x+1} – 5 • 2^x + 2 ≥ 0.
№ 5. При каких значениях параметра a уравнение 4^x − (a + 2) • 2^x + 4a − 8 = 0 имеет единственное решение?
К─1. Вариант 2
№ 1. Постройте график функции y = |(1/3)^x – 9|.
№ 2. Решите уравнение:
- 4^{x+3} ─ 4^x = 63;
- 36^x ─ 4 • 6^x = 12.
№ 3. Решите уравнение:
- (2{x-5}){x+3} = 0,5^x • 8^{x-6};
- 7 • 81^x + 9 • 49^x = 16 • 63^x;
- (√[5 + 2√6])^x + (√[5 — 2√6])^x = 10.
К─1. Вариант 3
К─1. Вариант 4
Вы смотрели: Алгебра Углубленный Буцко Контрольная 1 по теме ─ Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа. Углубл. уровень : 11 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
