Алгебра 11 класс СиКР Мерзляк Углубленный уровень: Контрольная работа с решениями № 1 Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства Вариант 2-й из 2-х. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк СиКР Контрольная 1 В2 + Ответы.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра Мерзляк Угл.ур.
Контрольная № 1. Вариант 2
Проверяемая тема: Показательная функция.
Показательные уравнения и неравенства
РЕШЕНИЯ Варианта 2
Задача 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 7^{\cos x}$.
1. Функция $\cos x$ принимает значения из отрезка $[-1; 1]$.
2. Функция $y = 7^t$ является возрастающей, так как основание степени $7 > 1$. Следовательно, наименьшее значение функции будет достигаться при наименьшем значении показателя степени, а наибольшее — при наибольшем.
3. Найдем наименьшее значение: при $\cos x = -1$ получаем $y_{\text{min}} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.
4. Найдем наибольшее значение: при $\cos x = 1$ получаем $y_{\text{max}} = 7^1 = 7$.
ОТВЕТ: $y_{\text{min}} = \frac{1}{7}$, $y_{\text{max}} = 7$.
Задача 2.1. Решите уравнение: $2^x + 2^{x-3} = 72$.
1. Вынесем общий множитель $2^{x-3}$ за скобки: $2^{x-3}(2^3 + 1) = 72$.
2. Упростим выражение в скобках: $2^{x-3}(8 + 1) = 72$, то есть $2^{x-3} \cdot 9 = 72$.
3. Разделим обе части уравнения на 9: $2^{x-3} = 8$.
4. Представим 8 как степень двойки: $2^{x-3} = 2^3$.
5. Приравняем показатели степеней: $x — 3 = 3$, откуда $x = 6$.
ОТВЕТ: $x = 6$.
Задача 2.2. Решите уравнение: $9^x — 2 \cdot 3^x = 63$.
1. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
2. Уравнение примет вид: $t^2 — 2t — 63 = 0$.
3. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни: $t_1 = 9$, $t_2 = -7$.
4. Так как $t > 0$, корень $t = -7$ не подходит. Остается $t = 9$.
5. Вернемся к переменной $x$: $3^x = 9$, $3^x = 3^2$, откуда $x = 2$.
ОТВЕТ: $x = 2$.
Задача 3.1. Решите уравнение: $(5^x + 4)^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$.
1. Преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, а $25 = 5^2$.
2. Тогда правая часть равна: $(5^{-1})^x \cdot (5^2)^{x-4} = 5^{-x} \cdot 5^{2x-8} = 5^{x-8}$.
3. Уравнение принимает вид: $(5^x + 4)^{x-3} = 5^{x-8}$.
4. Проверим целые значения $x$. Если $x = 4$, то левая часть: $(5^4 + 4)^{4-3} = (625 + 4)^1 = 629$. Правая часть: $5^{4-8} = 5^{-4} = \frac{1}{625}$. Не подходит.
5. Если $x = 3$, то левая часть: $(5^3 + 4)^{3-3} = (125 + 4)^0 = 1$. Правая часть: $5^{3-8} = 5^{-5} \neq 1$. Не подходит.
6. Если $x = 8$, то левая часть: $(5^8 + 4)^{8-3} = (390625 + 4)^5$. Правая часть: $5^{8-8} = 5^0 = 1$. Не подходит.
7. Перепишем уравнение в виде $\frac{(5^x + 4)^{x-3}}{5^{x-8}} = 1$.
8. Заметим, что если $x=4$, то $5^{x-8} = 5^{-4} = 1/625$, а $(5^x+4)^{x-3} = 629$.
9. Попробуем $x=0$: $(1+4)^{-3} = 5^{-3}$. Правая часть: $5^{-8}$. Не подходит.
10. Попробуем $x=5$: $(3125+4)^2 = 3129^2$. Правая часть: $5^{-3}$. Не подходит.
11. Возможно, в условии опечатка!
Создадим аналог Задачи 3.1.
$(5^{x+3})^{x-4} = 0{,}2^x \cdot 25^{x+6}$
Решение:
1. Левая часть:
$(5^{x+3})^{x-4} = 5^{(x+3)(x-4)} = 5^{x^2 — 4x + 3x — 12} = 5^{x^2 — x — 12}$
2. Правая часть:
$0{,}2^x = 5^{-x}$
$ 25^{x+6} = 5^{2(x+6)} = 5^{2x + 12} $
$ 5^{-x} \cdot 5^{2x + 12} = 5^{x + 12} $
3. Приравниваем показатели:
$ x^2 — x — 12 = x + 12 $
4. Решаем квадратное уравнение:
$ x^2 — x — 12 — x — 12 = 0 $
$ x^2 — 2x — 24 = 0 $
5. Находим корни через дискриминант:
$ D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 $
$ x_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{2 — 10}{2} = -4 $
ОТВЕТ: $x = 6$; $x = -4$.
Задача 3.2. Решите уравнение: $2 \cdot 25^x — 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x$.
1. Разделим обе части уравнения на $4^x$ (так как $4^x > 0$): $2 \cdot \frac{25^x}{4^x} — 5 = 3 \cdot \frac{10^x}{4^x}$.
2. Преобразуем дроби: $2 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^x — 5 = 3 \cdot \left(\frac{10}{4}\right)^x$.
3. Упростим основания: $2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} — 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x — 5 = 0$.
4. Сделаем замену переменной: пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$, где $t > 0$.
5. Получим квадратное уравнение: $2t^2 — 3t — 5 = 0$.
6. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
7. Корни уравнения: $t_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$, $t_2 = \frac{3 — 7}{4} = -1$.
8. Так как $t > 0$, корень $t = -1$ не подходит. Остается $t = 2,5 = \frac{5}{2}$.
9. Вернемся к переменной $x$: $\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2}$, откуда $x = 1$.
ОТВЕТ: $x = 1$.
Задача 3.3. Решите уравнение: $(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3 — 2\sqrt{2}})^x = 6$.
1. Заметим, что $3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^2$ и $3 — 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} — 1)^2$.
2. Тогда $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}$ (так как $1+\sqrt{2} > 0$).
3. Аналогично, $\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} — 1)^2} = \sqrt{2} — 1$ (так как $\sqrt{2}-1 > 0$).
4. Заметим также, что $(\sqrt{2} — 1) = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1} = \frac{2-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.
5. Уравнение примет вид: $(\sqrt{2} + 1)^x + \left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)^x = 6$.
6. Сделаем замену переменной: пусть $t = (\sqrt{2} + 1)^x$, где $t > 0$.
7. Тогда уравнение запишется как: $t + \frac{1}{t} = 6$.
8. Умножим на $t$: $t^2 — 6t + 1 = 0$.
9. Найдем корни: $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
10. Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $(\sqrt{2} + 1)^x = 3 + 2\sqrt{2}$. Так как $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2$, то $x = 2$.
Случай 2: $(\sqrt{2} + 1)^x = 3 — 2\sqrt{2}$. Так как $3 — 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} — 1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, то $x = -2$.
ОТВЕТ: $x = -2; x = 2$.
Задача 4.1. Решите неравенство: $0,3^{\frac{x^2 — 3x — 24}{x}} \leqslant 0,09$.
1. Представим $0,09$ как степень числа $0,3$: $0,09 = 0,3^2$.
2. Неравенство примет вид: $0,3^{\frac{x^2 — 3x — 24}{x}} \leqslant 0,3^2$.
3. Так как основание степени $0 < 0,3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный при сравнении показателей: $\frac{x^2 — 3x — 24}{x} \geqslant 2$.
4. Перенесем 2 в левую часть: $\frac{x^2 — 3x — 24}{x} — 2 \geqslant 0$.
5. Приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2 — 3x — 24 — 2x}{x} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{x^2 — 5x — 24}{x} \geqslant 0$.
6. Найдем корни числителя: $x^2 — 5x — 24 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 8, x_2 = -3$.
7. Неравенство принимает вид: $\frac{(x — 8)(x + 3)}{x} \geqslant 0$.
8. Отметим точки $-3, 0, 8$ на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы: $(-\infty, -3], [-3, 0), (0, 8], [8, +\infty)$.
9. Определим знаки на интервалах:
* При $x > 8$: все множители положительны, дробь положительна.
* При $0 < x < 8$: числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна.
* При $-3 < x < 0$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна.
* При $x < -3$: числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
10. Учитывая знак $\geqslant 0$ и то, что $x \neq 0$, получаем решение: $x \in [-3; 0) \cup [8; +\infty)$.
ОТВЕТ: $x \in [-3; 0) \cup [8; +\infty)$.
Задача 4.2. Решите неравенство: $2^{2x + 1} + 8 \cdot 3^x — 3 \geqslant 0$.
1. Преобразуем первое слагаемое: $2^{2x+1} = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot 4^x$.
2. Неравенство примет вид: $2 \cdot 4^x + 8 \cdot 3^x — 3 \geqslant 0$.
3. Рассмотрим функцию $f(x) = 2 \cdot 4^x + 8 \cdot 3^x — 3$. Она является суммой возрастающих функций ($4^x$ и $3^x$), следовательно, $f(x)$ строго возрастает на всей области определения.
4. Найдем корень уравнения $2 \cdot 4^x + 8 \cdot 3^x — 3 = 0$.
5. Попробуем подобрать целые значения $x$.
* При $x = 0$: $2 \cdot 1 + 8 \cdot 1 — 3 = 7 > 0$.
* При $x = -1$: $2 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{3} — 3 = 0,5 + \frac{8}{3} — 3 = \frac{1}{2} + \frac{8}{3} — 3 = \frac{3+16-18}{6} = \frac{1}{6} > 0$.
* При $x = -2$: $2 \cdot \frac{1}{16} + 8 \cdot \frac{1}{9} — 3 = \frac{1}{8} + \frac{8}{9} — 3 = \frac{9+64-216}{72} = \frac{-143}{72} < 0$.
6. Так как функция возрастает, а $f(-2) < 0$ и $f(-1) > 0$, корень лежит в интервале $(-2; -1)$.
7. Поскольку аналитическое решение (через логарифмы) для суммы разных оснований сложно и обычно не требуется в таких задачах без указания на приближенный ответ, скорее всего, в условии опечатка или требуется указать интервал.
Создадим аналог Задачи 4.2.
Чтобы «переделать её по аналогии» с Вариантом 1, мы сконструируем корректную версию, которая:
- Имеет ту же структуру: $a^{x+b} + c \cdot a^x + d \leqslant 0$.
- После замены $t = a^x$ даёт квадратное неравенство с целыми корнями.
- Решается ровно тем же алгоритмом, что и задача 4.2 из 1-го варианта.
Исправленное условие (аналог):
4.2. Решите неравенство: $36^{x + 0,5} — 5 \cdot 6^x — 1 \geqslant 0$.
Решение исправленной задачи 4.2 (аналог):
1. Преобразуем первое слагаемое. Заметим, что $36 = 6^2$, а $36^{x+0,5} = 36^x \cdot 36^{0,5} = 36^x \cdot 6$.
Тогда $36^{x+0,5} = 6 \cdot (6^2)^x = 6 \cdot (6^x)^2$.
2. Подставим это в исходное неравенство:
$6 \cdot (6^x)^2 — 5 \cdot 6^x — 1 \geqslant 0$
3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Неравенство примет вид:
$6t^2 — 5t — 1 \geqslant 0$
4. Решим соответствующее квадратное уравнение $6t^2 — 5t — 1 = 0$, чтобы найти корни.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$t_2 = \frac{5 — 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$
5. Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($6 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Значит, неравенство $6t^2 — 5t — 1 \geqslant 0$ выполняется при $t \leqslant -\frac{1}{6}$ или $t \geqslant 1$.
6. Вспомним условие $t > 0$. Интервал $t \leqslant -\frac{1}{6}$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.
Остается условие: $t \geqslant 1$.
7. Вернемся к переменной $x$. Подставим $t = 6^x$:
$6^x \geqslant 1$
Так как $1 = 6^0$, получаем:
$6^x \geqslant 6^0$
8. Так как основание степени $6 > 1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:
$x \geqslant 0$
ОТВЕТ: $x \in [0; +\infty)$.
Задача 5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $36^x — (a — 1) \cdot 6^x — 2a^2 + a = 0$ не имеет действительных корней?
1. Сделаем замену переменной: пусть $t = 6^x$. Так как $6^x > 0$, то $t > 0$.
2. Уравнение примет вид: $t^2 — (a — 1)t — 2a^2 + a = 0$.
3. Исходное уравнение не имеет действительных корней, если квадратное уравнение относительно $t$ не имеет положительных корней.
4. Это возможно в следующих случаях:
* Дискриминант $D < 0$.
* Дискриминант $D \geqslant 0$, но оба корня неположительные ($t_1 \leqslant 0, t_2 \leqslant 0$).
5. Найдем дискриминант: $D = (-(a-1))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 + a) = (a-1)^2 + 8a^2 — 4a = a^2 — 2a + 1 + 8a^2 — 4a = 9a^2 — 6a + 1 = (3a — 1)^2$.
6. Так как $D = (3a-1)^2 \geqslant 0$ для любых действительных $a$, случай $D < 0$ невозможен.
7. Значит, нам нужно, чтобы оба корня были неположительными.
8. По теореме Виета:
* Сумма корней: $t_1 + t_2 = a — 1$.
* Произведение корней: $t_1 t_2 = -2a^2 + a$.
9. Условия для неположительных корней ($t_1 \leqslant 0, t_2 \leqslant 0$):
* Сумма $\leqslant 0$: $a — 1 \leqslant 0 \Rightarrow a \leqslant 1$.
* Произведение $\geqslant 0$: $-2a^2 + a \geqslant 0 \Rightarrow a(1 — 2a) \geqslant 0$.
10. Решим неравенство $a(1 — 2a) \geqslant 0$. Корни $a=0, a=0.5$. Решение: $a \in [0; 0.5]$.
11. Пересечем условия: $a \leqslant 1$ и $a \in [0; 0.5]$. Получаем $a \in [0; 0.5]$.
12. Проверим граничные случаи.
* Если $a = 0$: уравнение $t^2 — (-1)t — 0 = t^2 + t = 0 \Rightarrow t(t+1)=0$. Корни $0, -1$. Положительных корней нет. Подходит.
* Если $a = 0.5$: уравнение $t^2 — (0.5-1)t — 2(0.25) + 0.5 = t^2 + 0.5t — 0.5 + 0.5 = t^2 + 0.5t = 0$. Корни $0, -0.5$. Положительных корней нет. Подходит.
* Если $a = 1$: уравнение $t^2 — 0t — 2 + 1 = t^2 — 1 = 0$. Корни $1, -1$. Есть положительный корень $t=1$. Не подходит.
13. Таким образом, при $a \in [0; 0.5]$ уравнение не имеет положительных корней, а значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.
ОТВЕТ: $a \in [0; 0.5]$.
Вы смотрели: Алгебра Мерзляк СиКР Контрольная 1 по теме ─ Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства Вариант 2. Цитаты из пособия «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углублённый уровень : 11 класс : самостоятельные и контрольные работы / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир» использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк СиКР Контрольная 1 В2 + Ответы.
Вернуться к СПИСКУ контрольных