Алгебра и начала мат анализа 11 класс Базовый уровень. Контрольная работа № 2 Вариант 1 с ответами. Дидактические материалы: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 2 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра Мерзляк Дидактич. мат-лы
Контрольная работа № 2. Вариант 1
Проверяемая тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций
\begin{align*}
&1. \quad \text{Найдите область} \\
&\quad \text{определения функции} \\
&\quad y = \lg(4x — 1) \\
&2. \quad \text{Решите уравнение:} \\
&\quad \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2; \\
&\quad \log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x — 1). \\
&3. \quad \text{Решите неравенство} \\
&\quad \log_{0.9}(x-4) \geq \log_{0.9}(8 — x) \\
&4. \quad \text{Вычислите значение выражения} \\
&\quad \frac{\log_9 27 + \log_9 3}{2 \log_2 6 — \log_2 9} \\
&5. \quad \text{Решите уравнение:} \\
&\quad \log_2 x + \log_2 (x — 3) = 2; \\
&\quad 1 + 2 \log_x 5 = \log_5 x. \\
&6. \quad \text{Найдите множество} \\
&\quad \text{решений неравенства} \\
&\quad \log_{0.5}^2 x — \log_{0.5} x — 2 \geq 0 \\
&7. \quad \text{Составьте уравнение касательной} \\
& \quad \text{к графику функции} \\
&\quad f(x) = e^{-3x}, \quad x_0 = 0 \\
&8. \quad \text{Постройте график функции} \\
&\quad y = \sqrt{\lg \sin x}
\end{align*}
К2 В1 Задание № 1. Решение
№ 1. Найдите область определения функции
\( y = \lg(4x — 1) \)
Решение:
Логарифмическая функция определена,
когда её аргумент положителен:
\( 4x — 1 > 0 \)
\( 4x > 1 \)
\( x > \frac{1}{4} \)
Ответ: Область определения:
\( x \in \left( \frac{1}{4}, +\infty \right) \)
К2 В1 Задание № 2. Решение
№ 2. Решите уравнение:
\(
\begin{cases}
\log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2; \\
\log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x — 1).
\end{cases}
\)
Решение:
1. Первое уравнение:
\( \log_{\frac{1}{3}}(3x + 4) = -2 \)
Перепишем в экспоненциальной форме:
\( \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 3x + 4 \)
\( 9 = 3x + 4 \)
\( 3x = 5 \)
\( x = \frac{5}{3} \)
2. Второе уравнение:
\( \log_7(2x + 9) = \log_7(x^2 + 5x — 1) \)
Так как логарифмы равны, равны и их аргументы:
\( 2x + 9 = x^2 + 5x — 1 \)
\( x^2 + 3x — 10 = 0 \)
Корни:
\( x = 2 \quad \text{или} \quad x = -5 \)
Проверка ОДЗ:
— Для \( x = 2 \): \( 2x + 9 = 13 > 0 \),
\( x^2 + 5x — 1 = 13 > 0 \) — подходит.
— Для \( x = -5 \): \( 2x + 9 = -1 < 0 \) — не подходит.
Ответ:
\(
\begin{cases}
x = \frac{5}{3}; \\
x = 2.
\end{cases}
\)
К2 В1 Задание № 3. Решение
№ 3. Решите неравенство
\( \log_{0.9}(x-4) \geq \log_{0.9}(8 — x) \)
Решение:
Так как основание логарифма \( 0.9 \in (0, 1) \),
знак неравенства меняется:
\( x — 4 \leq 8 — x \)
\( 2x \leq 12 \)
\( x \leq 6 \)
ОДЗ:
\( x — 4 > 0 \quad \text{и} \quad 8 — x > 0 \)
\( x > 4 \quad \text{и} \quad x < 8 \)
Ответ: \( x \in (4, 6] \)
К2 В1 Задание № 4. Решение
№ 4. Вычислите значение выражения
\( \frac{\log_9 27 + \log_9 3}{2 \log_2 6 — \log_2 9} \)
Решение: 1. Числитель:
\( \log_9 27 + \log_9 3 = \log_9 (27 \cdot 3) = \log_9 81 = 2 \)
2. Знаменатель:
\( 2 \log_2 6 — \log_2 9 = \log_2 6^2 — \log_2 9 = \)
\( = \log_2 \left( \frac{36}{9} \right) = \log_2 4 = 2 \)
3. Итог: \( \frac{2}{2} = 1 \)
Ответ:
\( \frac{\log_9 27 + \log_9 3}{2 \log_2 6 — \log_2 9} = 1 \)
К2 В1 Задание № 5. Решение
№ 5. Решите уравнение:
\(
\begin{cases}
\log_2 x + \log_2 (x — 3) = 2; \\
1 + 2 \log_x 5 = \log_5 x.
\end{cases}
\)
Решение:
1. Первое уравнение:
\( \log_2 x + \log_2 (x — 3) = 2 \)
\( \log_2 (x(x — 3)) = 2 \)
\( x(x — 3) = 4 \)
\( x^2 — 3x — 4 = 0 \)
Корни:
\( x = 4 \quad \text{или} \quad x = -1 \)
ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x — 3 > 0 \) ⇒ \( x > 3 \).
Подходит только \( x = 4 \).
2. Второе уравнение:
\( 1 + 2 \log_x 5 = \log_5 x \)
Пусть \( \log_5 x = t \), тогда \( \log_x 5 = \frac{1}{t} \):
\( 1 + \frac{2}{t} = t \)
\( t^2 — t — 2 = 0 \)
Корни:
\( t = 2 \quad \text{или} \quad t = -1 \)
— Если \( t = 2 \): \( \log_5 x = 2 \) ⇒ \( x = 25 \).
— Если \( t = -1 \): \( \log_5 x = -1 \) ⇒ \( x = \frac{1}{5} \).
Проверка ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
Оба корня подходят.
Ответ:
\(
\begin{cases}
x = 4; \\
x = 25 \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{5}.
\end{cases}
\)
К2 В1 Задание № 6. Решение
№ 6. Найдите множество решений неравенства
\( \log_{0.5}^2 x — \log_{0.5} x — 2 \geq 0 \)
Решение:
Пусть \( t = \log_{0.5} x \). Тогда неравенство:
\( t^2 — t — 2 \geq 0 \)
Корни:
\( t = -1 \quad \text{или} \quad t = 2 \)
Неравенство выполняется при \( t \leq -1 \) или \( t \geq 2 \).
1. Для \( t \leq -1 \):
\( \log_{0.5} x \leq -1 \)
Так как основание \( 0.5 \in (0, 1) \), знак меняется:
\( x \geq (0.5)^{-1} \)
\( x \geq 2 \)
2. Для \( t \geq 2 \):
\( \log_{0.5} x \geq 2 \)
\( x \leq (0.5)^2 \)
\( x \leq \frac{1}{4} \)
С учётом ОДЗ \( x > 0 \):
Ответ: \( x \in (0, \frac{1}{4}] \cup [2, +\infty) \)
К2 В1 Задание № 7. Решение
№ 7. Составьте уравнение касательной
к графику функции \( f(x) = e^{-3x} \) в точке \( x_0 = 0 \)
Решение:
1. Значение функции в точке \( x_0 = 0 \):
\( f(0) = e^{0} = 1 \)
2. Производная:
\( f'(x) = -3e^{-3x} \)
\( f'(0) = -3 \)
3. Уравнение касательной:
\( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \)
\( y = 1 — 3x \)
Ответ: Уравнение касательной: \( y = -3x + 1 \)
К2 В1 Задание № 8. Решение
№ 8. Постройте график функции
\( y = \sqrt{\lg \sin x} \)
Решение: 1. ОДЗ:
\( \lg \sin x \geq 0 \)
\( \sin x \geq 1 \)
Но \( \sin x \leq 1 \), поэтому:
\( \sin x = 1 \)
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
2. График:
Функция определена только в точках
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( y = \sqrt{\lg 1} = 0 \).
Ответ:
График состоит из изолированных точек
\( \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0 \right) \), \( n \in \mathbb{Z} \).
Смотрите также:
Контрольная № 2. Вариант 2Вы смотрели: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 2 В1 по теме ─ Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций. Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень : 11 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
