Алгебра и начала мат анализа 11 класс Базовый уровень. Контрольная работа № 2 Вариант 2 с ответами. Дидактические материалы: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 2 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра Мерзляк Дидактич. мат-лы
Контрольная работа № 2. Вариант 2
Проверяемая тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций
\begin{align*}
&1. \text{Найдите область определения функции} \quad y = \lg(6 — 4x). \\
&2. \quad \text{Решите уравнение:} \\
&\quad 1) \quad \log_{0.1}(10x — 7) = -1; \\
&\quad 2) \quad \log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 — 4x — 14). \\
&3. \quad \text{Решите неравенство} \quad \log_{\frac{2}{3}}(6 — x) \leq \log_{\frac{2}{3}}(x + 1). \\
&4. \quad \text{Вычислите значение выражения} \quad \frac{\log_8 128 — \log_8 2}{2 \log_6 2 + \log_6 9}. \\
&5. \quad \text{Решите уравнение:} \\
&\quad 1) \quad \log_5 x + \log_5 (x — 4) = 1; \\
&\quad 2) \quad 2 \log_3 x = 2 \log_x 3 + 3. \\
&6. \quad \text{Найдите множество решений неравенства} \quad \log_{\frac{1}{4}}^2 x + \log_{\frac{1}{4}} x — 2 \geq 0. \\
&7. \quad \text{Составьте уравнение касательной к графику функции} \\
&\quad f(x) = \ln(2x + 3) \quad \text{в точке с абсциссой} \quad x_0 = -1. \\
&8. \quad \text{Постройте график функции} \quad y = \sqrt{\lg \cos x}.
\end{align*}
К2 В2 Задание № 1. Решение
№ 1. Найдите область определения функции \( y = \lg(6 — 4x) \).
Решение:
Логарифм определен, когда его аргумент положителен:
\( 6 — 4x > 0 \)
\( -4x > -6 \)
\( x < \frac{6}{4} \)
\( x < 1.5 \)
Ответ:
Область определения: \( x \in (-\infty, 1.5) \).
К2 В2 Задание № 2. Решение
№ 2. Решите уравнение:
1) \( \log_{0.1}(10x — 7) = -1 \).
Решение:
Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:
\( 0.1^{-1} = 10x — 7 \)
\( 10 = 10x — 7 \)
\( 10x = 17 \)
\( x = 1.7 \)
Проверим ОДЗ:
\( 10x — 7 > 0 \Rightarrow x > 0.7 \)
Корень \( x = 1.7 \) удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \( \log_{0.1}(10x — 7) = -1 \)
\( x = 1.7 \).
2) \( \log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 — 4x — 14) \).
Решение:
Логарифмы равны, если равны их аргументы:
\( 3x + 4 = x^2 — 4x — 14 \)
\( x^2 — 7x — 18 = 0 \)
\( D = 49 + 72 = 121 \)
\( x = \frac{7 \pm 11}{2} \)
\( x_1 = 9, \quad x_2 = -2 \)
Проверим ОДЗ:
1) Для \( x = 9 \):
\( 3 \cdot 9 + 4 = 31 > 0 \)
\( 9^2 — 4 \cdot 9 — 14 = 81 — 36 — 14 = 31 > 0 \)
2) Для \( x = -2 \):
\( 3 \cdot (-2) + 4 = -2 < 0 \) — не подходит.
Ответ:
\( \log_8(3x + 4) = \log_8(x^2 — 4x — 14) \)
\( x = 9 \).
К2 В2 Задание № 3. Решение
№ 3. Решите неравенство \( \log_{\frac{2}{3}}(6 — x) \leq \log_{\frac{2}{3}}(x + 1) \).
Решение:
Основание логарифма \( \frac{2}{3} < 1 \), поэтому знак неравенства меняется:
\( 6 — x \geq x + 1 \)
\( -2x \geq -5 \)
\( x \leq 2.5 \)
ОДЗ:
1) \( 6 — x > 0 \Rightarrow x < 6 \)
2) \( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
Итоговое решение:
\( x \in (-1, 2.5] \)
Ответ:
\( x \in (-1, 2.5] \).
К2 В2 Задание № 4. Решение
№ 4. Вычислите значение выражения \( \frac{\log_8 128 — \log_8 2}{2 \log_6 2 + \log_6 9} \).
Решение:
Упростим числитель:
\( \log_8 128 — \log_8 2 = \log_8 \left( \frac{128}{2} \right) = \log_8 64 = 2 \)
Упростим знаменатель:
\( 2 \log_6 2 + \log_6 9 = \log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2 \)
Итоговое значение:
\( \frac{2}{2} = 1 \)
Ответ:
\( \frac{\log_8 128 — \log_8 2}{2 \log_6 2 + \log_6 9} = 1 \).
К2 В2 Задание № 5. Решение
№ 5. Решите уравнение:
1) \( \log_5 x + \log_5 (x — 4) = 1 \).
Решение:
Объединим логарифмы:
\( \log_5 (x(x — 4)) = 1 \)
\( x(x — 4) = 5 \)
\( x^2 — 4x — 5 = 0 \)
\( x = 5 \quad \text{или} \quad x = -1 \)
Проверим ОДЗ:
1) \( x > 0 \)
2) \( x — 4 > 0 \Rightarrow x > 4 \)
Подходит только \( x = 5 \).
Ответ:
\( \log_5 x + \log_5 (x — 4) = 1 \)
\( x = 5 \).
2) \( 2 \log_3 x = 2 \log_x 3 + 3 \).
Решение:
Обозначим \( \log_3 x = t \), тогда \( \log_x 3 = \frac{1}{t} \):
\( 2t = 2 \cdot \frac{1}{t} + 3 \)
\( 2t^2 — 3t — 2 = 0 \)
\( t = 2 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2} \)
1) \( \log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9 \)
2) \( \log_3 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Проверим ОДЗ: \( x > 0, x \neq 1 \). Оба корня подходят.
Ответ:
\( 2 \log_3 x = 2 \log_x 3 + 3 \)
\( x = 9 \) или \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
К2 В2 Задание № 6. Решение
№ 6. Найдите множество решений неравенства \( \log_{\frac{1}{4}}^2 x + \log_{\frac{1}{4}} x — 2 \geq 0 \).
Решение:
Обозначим \( t = \log_{\frac{1}{4}} x \):
\( t^2 + t — 2 \geq 0 \)
\( (t + 2)(t — 1) \geq 0 \)
\( t \leq -2 \quad \text{или} \quad t \geq 1 \)
1) \( \log_{\frac{1}{4}} x \leq -2 \):
\( x \geq \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = 16 \)
2) \( \log_{\frac{1}{4}} x \geq 1 \):
\( x \leq \frac{1}{4} \)
ОДЗ: \( x > 0 \).
Ответ:
\( x \in (0, \frac{1}{4}] \cup [16, +\infty) \).
К2 В2 Задание № 7. Решение
№ 7. Составьте уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \ln(2x + 3) \) в точке с абсциссой \( x_0 = -1 \).
Решение:
1) Найдем \( f(-1) \):
\( f(-1) = \ln(2 \cdot (-1) + 3) = \ln 1 = 0 \)
2) Найдем производную:
\( f'(x) = \frac{2}{2x + 3} \)
\( f'(-1) = \frac{2}{1} = 2 \)
3) Уравнение касательной:
\( y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0) \)
\( y = 0 + 2(x + 1) \)
\( y = 2x + 2 \)
Ответ:
Уравнение касательной: \( y = 2x + 2 \).
К2 В2 Задание № 8. Решение
№ 8. Постройте график функции \( y = \sqrt{\lg \cos x} \).
Решение:
1) ОДЗ:
— \( \lg \cos x \geq 0 \Rightarrow \cos x \geq 1 \)
— Но \( \cos x \leq 1 \), поэтому \( \cos x = 1 \)
— \( x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)
2) График состоит из изолированных точек \( (2\pi n, 0) \).
Ответ:
График — точки \( (2\pi n, 0) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Смотрите также:
Контрольная № 2. Вариант 1Вы смотрели: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 2 В2 по теме ─ Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Производные показательной и логарифмической функций. Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень : 11 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
