Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 1 В1

Алгебра и начала мат анализа 11 класс Базовый уровень. Контрольная работа № 1 Вариант 1 с ответами. Дидактические материалы: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 1 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных работ

Алгебра Мерзляк Дидактич. мат-лы
Контрольная работа № 1. Вариант 1

Проверяемая тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

\begin{align*}
&\text{1.} \quad \text{Сравните числа } m \text{ и } n, \text{ если:} \\
&\quad 1) \quad 10.4^m > 10.4^n; \\
&\quad 2) \quad (\sin 1)^m < (\sin 1)^n. \\
&\text{2.} \quad \text{Решите уравнение:} \\
&\quad 1) \quad 5^{x-1} — 3 \cdot 5^x = 250; \\
&\quad 2) \quad 4^x — 3 \cdot 2^x = 40. \\
&\text{3.} \quad \text{Найдите множество} \\
&\text{решений неравенства} \\
&\quad \left(\frac{3}{7}\right)^{4x} \; \leq \; \left(\frac{3}{7}\right)^{2x-3}. \\
&\text{4.} \quad \text{Решите уравнение} \\
&\quad (7^{x+3})^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6}. \\
&\text{5.} \quad \text{Решите неравенство:} \\
&\quad 1) \quad 0.1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \geq 0.001; \\
&\quad 2) \quad 0.5^{2x-3} — 17 \cdot 0.5^x + 2 \leq 0. \\
&\text{6.} \quad \text{Решите уравнение} \\
&\quad 7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x.
\end{align*}

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

К1 В1 Задание № 1. Решение

№ 1. Сравните числа \( m \) и \( n \), если:

1) \( 10.4^m > 10.4^n \)
Решение. Основание степени \( 10.4 > 1 \),
поэтому показательная функция возрастает.
Следовательно, из неравенства
\( 10.4^m > 10.4^n \) следует \( m > n \).
Ответ: \( m > n \).

2) \( (\sin 1)^m < (\sin 1)^n \)
Решение. Так как \( 1 \) радиан лежит
в первой четверти, \( 0 < \sin 1 < 1 \).
Показательная функция с основанием \( 0 < a < 1 \) убывает,
поэтому из \( (\sin 1)^m < (\sin 1)^n \) следует \( m > n \).
Ответ: \( m > n \).

К1 В1 Задание № 2. Решение

№ 2. Решите уравнение:

1) \( 5^{x-1} — 3 \cdot 5^x = 250 \)
Решение. Преобразуем уравнение:
\(
5^{x-1} — 3 \cdot 5^x = 250 \quad \Rightarrow \quad \frac{5^x}{5} — 3 \cdot 5^x = 250.
\)
Умножим обе части на 5:
\(
5^x — 15 \cdot 5^x = 1250 \quad \Rightarrow \quad -14 \cdot 5^x = 1250.
\)
Решим:
\(
5^x = -\frac{1250}{14} = -\frac{625}{7}.
\)
Так как \( 5^x > 0 \), решений нет.
Ответ: \( 5^{x-1} — 3 \cdot 5^x = 250 \) — нет решений.

2) \( 4^x — 3 \cdot 2^x = 40 \)
Решение:
Замена \( t = 2^x \), тогда \( 4^x = t^2 \):
\(
t^2 — 3t — 40 = 0.
\)
Корни:
\(
t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} = \frac{3 \pm 13}{2} \quad \Rightarrow \quad t_1 = 8, \quad t_2 = -5.
\)
Так как \( t = 2^x > 0 \), остается \( t = 8 \):
\(
2^x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 3.
\)
Ответ: \( 4^x — 3 \cdot 2^x = 40 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \).

К1 В1 Задание № 3. Решение

№ 3. Найдите множество решений неравенства:
\(
\left(\frac{3}{7}\right)^{4x} \leq \left(\frac{3}{7}\right)^{2x-3}.
\)
Решение:
Основание \( \frac{3}{7} \in (0, 1) \),
поэтому показательная функция убывает.
Неравенство эквивалентно:
\(
4x \geq 2x — 3 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq -3 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{3}{2}.
\)
Ответ: \( x \in \left[-\frac{3}{2}, +\infty\right) \).

К1 В1 Задание № 4. Решение

№ 4. Решите уравнение:
\(
(7^{x+3})^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6}.
\)
Решение:
Преобразуем обе части:
\(
7^{(x+3)(x-4)} = 7^{-x} \cdot 7^{2(x+6)}.
\)
Приравняем показатели:
\(
(x+3)(x-4) = -x + 2x + 12.
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 — x — 12 = x + 12 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 24 = 0.
\)
Корни:
\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 6, \quad x_2 = -4.
\)
Ответ: \( (7^{x+3})^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6} \quad
\Rightarrow \quad x = 6 \) или \( x = -4 \).

К1 В1 Задание № 5. Решение

№ 5. Решите неравенство:

1) \( 0.1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \geq 0.001 \)
Решение:
Преобразуем:
\(
0.1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \geq 0.1^3.
\)
Основание \( 0.1 \in (0, 1) \), поэтому неравенство эквивалентно:
\(
\frac{x^2 — 4x — 15}{x + 1} \leq 3.
\)
Решим:
\(
\frac{x^2 — 4x — 15 — 3x — 3}{x + 1} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2 — 7x — 18}{x + 1} \leq 0.
\)
Корни числителя: \( x = 9 \), \( x = -2 \).
Корень знаменателя: \( x = -1 \).
Метод интервалов:
\(
x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 9].
\)
Ответ: \( x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 9] \).

2) \( 0.5^{2x-3} — 17 \cdot 0.5^x + 2 \leq 0 \)
Решение:
Замена \( t = 0.5^x \), тогда \( 0.5^{2x-3} = \frac{t^2}{0.5^3} = 8t^2 \).
Неравенство:
\(
8t^2 — 17t + 2 \leq 0.
\)
Корни:
\( t = \frac{17 \pm \sqrt{289 — 64}}{16} = \frac{17 \pm 15}{16} \quad \)
\( \Rightarrow \quad t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{8}. \)
Так как \( 8t^2 — 17t + 2 \) — парабола, ветви вверх,
неравенство выполняется между корнями:
\( \frac{1}{8} \leq t \leq 2. \)
Но \( t = 0.5^x > 0 \), поэтому:
\( 0.5^x \geq \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad x \leq 3, \)
\( \text{так как основание } 0.5 \in (0, 1). \)
Ответ: \( x \in [0, 3] \).

К1 В1 Задание № 6. Решение

№ 6. Решите уравнение:
\(
7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x.
\)
Решение:
Разделим обе части на \( 16^x \):
\(
7 \cdot \left(\frac{49}{16}\right)^x + 10 \cdot \left(\frac{28}{16}\right)^x — 8 = 0.
\)
Замена \( t = \left(\frac{7}{4}\right)^x \):
\(
7t^2 + 10t — 8 = 0.
\)
Корни:
\(
t = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 224}}{14} = \frac{-10 \pm 18}{14} \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{4}{7}, \quad t_2 = -2.
\)
Так как \( t > 0 \), остается \( t = \frac{4}{7} \):
\(
\left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7} \quad \Rightarrow \quad x = -1.
\)
Ответ: \( 7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x \quad \Rightarrow \quad x = -1 \).

Смотрите также:

Вы смотрели: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 1 В1 по теме ─ Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень : 11 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных