Алгебра и начала мат анализа 11 класс Базовый уровень. Контрольная работа № 1 Вариант 2 с ответами. Дидактические материалы: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 1 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных работ
Алгебра Мерзляк Дидактич. мат-лы
Контрольная работа № 1. Вариант 2
Проверяемая тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства
\begin{align*}
&\text{1.} & & \text{Сравните числа } a \text{ и } b, \text{ если:} \\
& & & 1)\quad 12,3^a < 12,3^b; \\
& & & 2)\quad (\cos 1)^a > (\cos 1)^b. \\
&\text{2.} & & \text{Решите уравнение:} \\
& & & 1)\quad 2^x + 2^{x-3} = 72; \\
& & & 2)\quad 9^x — 2 \cdot 3^x = 63. \\
&\text{3.} & & \text{Найдите множество решений неравенства} \\
& & & \left(\frac{5}{11}\right)^{3x} \geq \left(\frac{5}{11}\right)^{2-x}. \\
&\text{4.} & & \text{Решите уравнение } (5^{x+4})^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}. \\
&\text{5.} & & \text{Решите неравенство:} \\
& & & 1)\quad 0,3^{\frac{x^2 — 3x — 24}{x}} \leq 0,09; \\
& & & 2)\quad 3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x — 3 \geq 0. \\
&\text{6.} & & \text{Решите уравнение } 2 \cdot 25^x — 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x.
\end{align*}
К1 В2 Задание № 1. Решение
№ 1. Сравните числа \( a \) и \( b \), если:
1) \( 12{,}3^a < 12{,}3^b \)
Решение:
Показательная функция \( y = 12{,}3^x \) является возрастающей,
так как основание \( 12{,}3 > 1 \).
Из неравенства \( 12{,}3^a < 12{,}3^b \) следует, что \( a < b \).
Ответ:
\( a < b \).
2) \( (\cos 1)^a > (\cos 1)^b \)
Решение:
Так как \( 0 < \cos 1 < 1 \), функция \( y = (\cos 1)^x \) убывает.
Из неравенства \( (\cos 1)^a > (\cos 1)^b \) следует, что \( a < b \).
Ответ: \( a < b \).
К1 В2 Задание № 2. Решение
№ 2. Решите уравнение:
1) \( 2^x + 2^{x-3} = 72 \)
Решение:
Вынесем общий множитель \( 2^{x-3} \):
\(
2^{x-3}(2^3 + 1) = 72 \implies 2^{x-3} \cdot 9 = 72 \implies 2^{x-3} = 8.
\)
Так как \( 8 = 2^3 \), получаем:
\(
x — 3 = 3 \implies x = 6.
\)
Ответ: \( 2^x + 2^{x-3} = 72 \implies x = 6 \).
2) \( 9^x — 2 \cdot 3^x = 63 \)
Решение:
Сделаем замену \( t = 3^x \), тогда \( 9^x = t^2 \):
\( t^2 — 2t — 63 = 0. \)
Решаем квадратное уравнение:
\(
t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2} = \frac{2 \pm 16}{2}.
\)
Корни: \( t = 9 \) и \( t = -7 \).
Так как \( t = 3^x > 0 \), остается \( t = 9 \):
\( 3^x = 9 \implies x = 2. \)
Ответ: \( 9^x — 2 \cdot 3^x = 63 \implies x = 2 \).
К1 В2 Задание № 3. Решение
№ 3. Найдите множество решений неравенства:
\(
\left(\frac{5}{11}\right)^{3x} \geq \left(\frac{5}{11}\right)^{2-x}.
\)
Решение:
Функция \( y = \left(\frac{5}{11}\right)^x \) убывает,
так как \( 0 < \frac{5}{11} < 1 \).
Из неравенства следует:
\(
3x \leq 2 — x \implies 4x \leq 2 \implies x \leq \frac{1}{2}.
\)
Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \).
К1 В2 Задание № 4. Решение
№ 4. Решите уравнение:
\(
(5^{x+4})^{x-3} = 0{,}2^x \cdot 25^{x-4}.
\)
Решение. Упростим обе части:
\(
5^{(x+4)(x-3)} = 5^{-x} \cdot 5^{2(x-4)}.
\)
Приравняем показатели:
\(
(x+4)(x-3) = -x + 2(x-4).
\)
Раскроем скобки и упростим:
\(
x^2 + x — 12 = x — 8 \implies x^2 — 4 = 0 \implies x = \pm 2.
\)
Ответ:
\( (5^{x+4})^{x-3} = 0{,}2^x \cdot 25^{x-4} \implies x = \pm 2 \).
К1 В2 Задание № 5. Решение
№ 5. Решите неравенство:
1) \( 0{,}3^{\frac{x^2 — 3x — 24}{x}} \leq 0{,}09 \)
Решение:
Преобразуем \( 0{,}09 = 0{,}3^2 \).
Так как \( 0 < 0{,}3 < 1 \), неравенство эквивалентно:
\( \frac{x^2 — 3x — 24}{x} \geq 2. \)
Решаем:
\( \frac{x^2 — 3x — 24 — 2x}{x} \geq 0 \implies \frac{x^2 — 5x — 24}{x} \geq 0. \)
Находим корни числителя: \( x = 8 \) и \( x = -3 \).
Метод интервалов дает:
\( x \in (-\infty; -3] \cup (0; 8]. \)
Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \cup (0; 8] \).
2) \( 3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x — 3 \geq 0 \)
Решение:
Сделаем замену \( t = 3^x \), тогда \( 3^{2x+1} = 3t^2 \):
\( 3t^2 + 8t — 3 \geq 0. \)
Решаем квадратное неравенство:
\( t = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{-8 \pm 10}{6}. \)
Корни: \( t = \frac{1}{3} \) и \( t = -3 \).
Так как \( t = 3^x > 0 \), решение неравенства:
\( t \geq \frac{1}{3} \implies 3^x \geq 3^{-1} \implies x \geq -1. \)
Ответ: \( x \in [-1; +\infty) \).
К1 В2 Задание № 6. Решение
№ 6. Решите уравнение:
\(
2 \cdot 25^x — 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x.
\)
Решение:
Разделим обе части на \( 4^x \):
\(
2 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^x — 5 = 3 \cdot \left(\frac{10}{4}\right)^x.
\)
Сделаем замену \( t = \left(\frac{5}{2}\right)^x \):
\(
2t^2 — 5 = 3t \implies 2t^2 — 3t — 5 = 0.
\)
Решаем квадратное уравнение:
\(
t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}.
\)
Корни: \( t = \frac{5}{2} \) и \( t = -1 \).
Так как \( t > 0 \), остается \( t = \frac{5}{2} \):
\(
\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2} \implies x = 1.
\)
Ответ: \( 2 \cdot 25^x — 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x \implies x = 1 \).
Смотрите также:
Контрольная № 1. Вариант 1Вы смотрели: Алгебра Мерзляк ДМ Контрольная 1 В2 по теме ─ Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень : 11 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
