Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа № 7 с ответами Вариант 2 по § 45. Производная степенной функции. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 7 В2.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 11 класс Алимов
Самостоятельная № 7. Вариант 2
Проверяемая тема учебника: § 45. Производная степенной функции
Справочные сведения
Примеры с решениями
Задания. Вариант 2
Найти производную функции (1-12).
1. \( x^9 \)
Решение: Используем правило производной степенной функции: \((x^n)’ = n x^{n-1}\).
\( (x^9)’ = 9x^{9-1} = 9x^8 \).
✅ Ответ: \( 9x^8 \)
2. \( x^{-12} \)
Решение:
\( (x^{-12})’ = -12x^{-12-1} = -12x^{-13} \).
✅ Ответ: \( -12x^{-13} \)
3. \( x^{\frac{4}{5}} \)
Решение:
\( (x^{\frac{4}{5}})’ = \frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} — 1} = \frac{4}{5} x^{-\frac{1}{5}} \).
✅ Ответ: \( \frac{4}{5} x^{-\frac{1}{5}} \)
4. \( x^{-\frac{2}{3}} \)
Решение:
\( (x^{-\frac{2}{3}})’ = -\frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3} — 1} = -\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}} \).
✅ Ответ: \( -\frac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}} \)
5. \( \frac{1}{x^{18}} \)
Решение:
Запишем как \( x^{-18} \).
\( (x^{-18})’ = -18x^{-19} = -\frac{18}{x^{19}} \).
✅ Ответ: \( -\frac{18}{x^{19}} \)
6. \( \sqrt[4]{x} \)
Решение:
Запишем как \( x^{\frac{1}{4}} \).
\( (x^{\frac{1}{4}})’ = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} — 1} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} \).
✅ Ответ: \( \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} \)
7. \( \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}} \)
Решение:
Запишем как \( x^{-\frac{5}{8}} \).
\( (x^{-\frac{5}{8}})’ = -\frac{5}{8} x^{-\frac{5}{8} — 1} = -\frac{5}{8} x^{-\frac{13}{8}} = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}} \).
✅ Ответ: \( -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}} \)
8. \( (2 — 5x)^4 \)
Решение:
Сложная функция. Внешняя: \( u^4 \), внутренняя: \( u = 2 — 5x \).
Производная: \( 4(2 — 5x)^3 \cdot (-5) = -20(2 — 5x)^3 \).
✅ Ответ: \( -20(2 — 5x)^3 \)
9. \( (-2x)^5 \)
Решение:
Сначала упростим: \( (-2x)^5 = -32x^5 \).
Производная: \( -32 \cdot 5x^4 = -160x^4 \).
Или по сложной функции: \( 5(-2x)^4 \cdot (-2) = -10(-2x)^4 = -10 \cdot 16x^4 = -160x^4 \).
✅ Ответ: \( -160x^4 \)
10. \( (7x — 1)^{-4} \)
Решение:
Внешняя: \( u^{-4} \), внутренняя: \( u = 7x — 1 \).
Производная: \( -4(7x — 1)^{-5} \cdot 7 = -28(7x — 1)^{-5} \).
✅ Ответ: \( -\frac{28}{(7x — 1)^5} \)
11. \( \sqrt[10]{-3 + 12x} \)
Решение:
Запишем как \( (-3 + 12x)^{\frac{1}{10}} \).
Производная: \( \frac{1}{10}(-3 + 12x)^{-\frac{9}{10}} \cdot 12 = \frac{12}{10}(-3 + 12x)^{-\frac{9}{10}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[10]{(-3 + 12x)^9}} \).
✅ Ответ: \( \frac{6}{5\sqrt[10]{(-3 + 12x)^9}} \)
12. \( \frac{1}{\sqrt[6]{\left(\frac{x}{3} + 2\right)^5}} \)
Решение:
Запишем как \( \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{-\frac{5}{6}} \).
Производная: \( -\frac{5}{6}\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{-\frac{11}{6}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{18}\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{-\frac{11}{6}} \).
✅ Ответ: \( -\frac{5}{18} \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}}} \)
Найти $f'(x_0)$ (13-14).
13. \( f(x) = x^{-4} \), \( x_0 = 2 \)
Решение:
\( f'(x) = -4x^{-5} \).
\( f'(2) = -4 \cdot 2^{-5} = -4 \cdot \frac{1}{32} = -\frac{1}{8} \).
✅ Ответ: \( -\frac{1}{8} \)
14. \( f(x) = \sqrt{1 — 5x} \), \( x_0 = -3 \)
Решение:
Запишем как \( (1 — 5x)^{\frac{1}{2}} \).
\( f'(x) = \frac{1}{2}(1 — 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{1 — 5x}} \).
\( f'(-3) = -\frac{5}{2\sqrt{1 — 5(-3)}} = -\frac{5}{2\sqrt{1 + 15}} = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8} \).
✅ Ответ: \( -\frac{5}{8} \)
15. При каких значениях \( x \) производная функции \( f(x) = x^5 \) равна \( 5 \)?
Решение:
\( f'(x) = 5x^4 \).
Приравниваем: \( 5x^4 = 5 \Rightarrow x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \).
✅ Ответ: \( x = 1 \) или \( x = -1 \)
16. Решить уравнение \( f(x) = f'(x) \), если \( f(x) = (1 — x)^2 \)
Решение:
\( f'(x) = 2(1 — x) \cdot (-1) = -2(1 — x) = 2x — 2 \).
Уравнение: \( (1 — x)^2 = 2x — 2 \).
Раскрываем: \( 1 — 2x + x^2 = 2x — 2 \).
Переносим: \( x^2 — 2x — 2x + 1 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 — 4x + 3 = 0 \).
Корни: \( x = 1 \), \( x = 3 \).
✅ Ответ: \( x = 1 \), \( x = 3 \)
Найти такие значения $x$, при которых производная функции $f(x)$ принимает указанное значение (17-20).
17. \( f(x) = (x — 3)^2 \), \( f'(x) = -3 \)
Решение:
\( f'(x) = 2(x — 3) \).
Приравниваем: \( 2(x — 3) = -3 \Rightarrow 2x — 6 = -3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5 \).
✅ Ответ: \( x = 1.5 \)
18. \( f(x) = (3x — 2)^3 \), \( f'(x) = 4 \)
Решение:
\( f'(x) = 3(3x — 2)^2 \cdot 3 = 9(3x — 2)^2 \).
Приравниваем: \( 9(3x — 2)^2 = 4 \Rightarrow (3x — 2)^2 = \frac{4}{9} \).
Извлекаем корень: \( 3x — 2 = \pm \frac{2}{3} \).
1) \( 3x — 2 = \frac{2}{3} \Rightarrow 3x = \frac{8}{3} \Rightarrow x = \frac{8}{9} \).
2) \( 3x — 2 = -\frac{2}{3} \Rightarrow 3x = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{4}{9} \).
✅ Ответ: \( x = \frac{8}{9} \) или \( x = \frac{4}{9} \)
19. \( f(x) = x^{-1} \), \( f'(x) = 1 \)
Решение:
\( f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).
Приравниваем: \( -\frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = -1 \).
Уравнение не имеет решений в действительных числах, так как левая часть положительна.
✅ Ответ: нет решений
20. \( f(x) = 4x^2 + 4x + 1 \), \( f'(x) = 0 \)
Решение:
\( f'(x) = 8x + 4 \).
Приравниваем: \( 8x + 4 = 0 \Rightarrow 8x = -4 \Rightarrow x = -0.5 \).
✅ Ответ: \( x = -0.5 \)
Вы смотрели: Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа по § 45. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 7 В2.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных работ.