Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа № 7 с ответами Вариант 1 по § 45. Производная степенной функции. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 7 В1.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 11 класс Алимов
Самостоятельная № 7. Вариант 1
Проверяемая тема учебника: § 45. Производная степенной функции
Справочные сведения
Примеры с решениями
Задания. Вариант 1
Найти производную функции (1-12).
1. Найти производную функции \( x^8 \)
Решение: Используем правило дифференцирования степенной функции: \((x^n)’ = n x^{n-1}\).
\[
(x^8)’ = 8x^{8-1} = 8x^7.
\]
✅ Ответ: \( 8x^7 \).
2. Найти производную функции \( x^{-11} \)
Решение:
Применяем то же правило: \((x^n)’ = n x^{n-1}\).
\[
(x^{-11})’ = -11 \cdot x^{-11-1} = -11x^{-12}.
\]
✅ Ответ: \( -11x^{-12} \).
3. Найти производную функции \( x^{\frac{2}{3}} \)
Решение:
\[
(x^{\frac{2}{3}})’ = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} — 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.
\]
✅ Ответ: \( \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \).
4. Найти производную функции \( x^{-\frac{4}{5}} \)
Решение:
\[
(x^{-\frac{4}{5}})’ = -\frac{4}{5} x^{-\frac{4}{5} — 1} = -\frac{4}{5} x^{-\frac{9}{5}} = -\frac{4}{5\sqrt[5]{x^9}}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{4}{5\sqrt[5]{x^9}} \).
5. Найти производную функции \( \frac{1}{x^{10}} \)
Решение:
Перепишем функцию в виде степени: \(\frac{1}{x^{10}} = x^{-10}\).
\[
(x^{-10})’ = -10 x^{-11} = -\frac{10}{x^{11}}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{10}{x^{11}} \).
6. Найти производную функции \( \sqrt[6]{x^5} \)
Решение:
Перепишем корень в виде степени: \(\sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}\).
\[
(x^{\frac{5}{6}})’ = \frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} — 1} = \frac{5}{6} x^{-\frac{1}{6}} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}.
\]
✅ Ответ: \( \frac{5}{6\sqrt[6]{x}} \).
7. Найти производную функции \( \frac{1}{\sqrt[3]{x^3}} \)
Решение:
Заметим, что \(\sqrt[3]{x^3} = x\), так как корень кубический из \(x^3\) равен \(x\) (при \(x \neq 0\) возможны знаки, но производная считается по правилу). Тогда функция равна \(\frac{1}{x} = x^{-1}\).
\[
(x^{-1})’ = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{1}{x^2} \).
8. Найти производную функции \( (1 — 3x)^4 \)
Решение:
Это сложная функция. Используем правило: \((u^n)’ = n u^{n-1} \cdot u’\).
Здесь \(u = 1 — 3x\), \(u’ = -3\).
\[
((1 — 3x)^4)’ = 4 (1 — 3x)^3 \cdot (-3) = -12 (1 — 3x)^3.
\]
✅ Ответ: \( -12(1 — 3x)^3 \).
9. Найти производную функции \( (-5x)^3 \)
Решение:
Сначала упростим: \((-5x)^3 = -125 x^3\).
\[
(-125 x^3)’ = -125 \cdot 3x^2 = -375 x^2.
\]
✅ Ответ: \( -375x^2 \).
10. Найти производную функции \( (4x — 3)^{-6} \)
Решение:
Сложная функция: \(u = 4x — 3\), \(u’ = 4\).
\[
((4x — 3)^{-6})’ = -6 (4x — 3)^{-7} \cdot 4 = -24 (4x — 3)^{-7}.
\]
✅ Ответ: \( -24(4x — 3)^{-7} \).
11. Найти производную функции \( \sqrt[3]{-5 + 2x} \)
Решение:
Перепишем: \(\sqrt[3]{-5 + 2x} = (-5 + 2x)^{\frac{1}{3}}\).
\(u = -5 + 2x\), \(u’ = 2\).
\[
\left((-5 + 2x)^{\frac{1}{3}}\right)’ = \frac{1}{3} (-5 + 2x)^{-\frac{2}{3}} \cdot 2 = \frac{2}{3} (-5 + 2x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(-5 + 2x)^2}}.
\]
✅ Ответ: \( \frac{2}{3\sqrt[3]{(-5 + 2x)^2}} \).
12. Найти производную функции \( \frac{1}{\sqrt[4]{\left(\frac{x}{2} — 3\right)^3}} \)
Решение:
Перепишем: \(\frac{1}{\sqrt[4]{\left(\frac{x}{2} — 3\right)^3}} = \left(\frac{x}{2} — 3\right)^{-\frac{3}{4}}\).
\(u = \frac{x}{2} — 3\), \(u’ = \frac{1}{2}\).
\[
\left(\left(\frac{x}{2} — 3\right)^{-\frac{3}{4}}\right)’ = -\frac{3}{4} \left(\frac{x}{2} — 3\right)^{-\frac{7}{4}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} \left(\frac{x}{2} — 3\right)^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{8\sqrt[4]{\left(\frac{x}{2} — 3\right)^7}}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{3}{8\sqrt[4]{\left(\frac{x}{2} — 3\right)^7}} \).
Найти $f'(x_0)$ (13-14).
13. Найти \( f'(x_0) \), если \( f(x) = x^{-3} \), \( x_0 = 3 \)
Решение:
Сначала найдем производную: \(f'(x) = -3x^{-4}\).
Подставим \(x_0 = 3\):
\[
f'(3) = -3 \cdot 3^{-4} = -3 \cdot \frac{1}{81} = -\frac{3}{81} = -\frac{1}{27}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{1}{27} \).
14. Найти \( f'(x_0) \), если \( f(x) = \sqrt{3 — 2x} \), \( x_0 = -11 \)
Решение:
Перепишем: \(f(x) = (3 — 2x)^{\frac{1}{2}}\).
Производная: \(f'(x) = \frac{1}{2} (3 — 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{3 — 2x}}\).
Подставим \(x_0 = -11\):
\[
f'(-11) = -\frac{1}{\sqrt{3 — 2(-11)}} = -\frac{1}{\sqrt{3 + 22}} = -\frac{1}{\sqrt{25}} = -\frac{1}{5}.
\]
✅ Ответ: \( -\frac{1}{5} \).
15. При каких значениях \( x \) производная функции \( f(x) = x^3 \) равна \( 3 \)?
Решение:
Найдем производную: \(f'(x) = 3x^2\).
Приравняем к 3:
\[
3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.
\]
✅ Ответ: \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
16. Решить уравнение \( f'(x) = f(x) \), если \( f(x) = (x + 1)^2 \)
Решение:
Найдем \(f'(x)\): \(f'(x) = 2(x + 1) \cdot 1 = 2x + 2\).
Приравняем:
\[
2x + 2 = (x + 1)^2.
\]
Раскроем скобки:
\[
2x + 2 = x^2 + 2x + 1.
\]
Перенесем все в одну сторону:
\[
0 = x^2 + 2x + 1 — 2x — 2 = x^2 — 1.
\]
Отсюда \(x^2 = 1\), \(x = \pm 1\).
✅ Ответ: \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
Найти такие значения $x$, при которых производная функции $f(x)$ принимает указанное значение (17-20).
17. Найти значения \( x \), при которых \( f'(x) = 3 \), если \( f(x) = x^2 \)
Решение:
\(f'(x) = 2x\).
Приравняем:
\[
2x = 3 \implies x = 1.5.
\]
✅ Ответ: \( x = 1.5 \).
18. Найти значения \( x \), при которых \( f'(x) = 3 \), если \( f(x) = (2x + 3)^2 \)
Решение:
Найдем производную:
\(f'(x) = 2(2x + 3) \cdot 2 = 4(2x + 3) = 8x + 12\).
Приравняем:
\[
8x + 12 = 3 \implies 8x = -9 \implies x = -\frac{9}{8} = -1.125.
\]
✅ Ответ: \( x = -1.125 \).
19. Найти значения \( x \), при которых \( f'(x) = -4 \), если \( f(x) = x^{-1} \)
Решение:
\(f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\).
Приравняем:
\[
-\frac{1}{x^2} = -4 \implies \frac{1}{x^2} = 4 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}.
\]
✅ Ответ: \( x = \frac{1}{2} \) или \( x = -\frac{1}{2} \).
20. Найти значения \( x \), при которых \( f'(x) = 0 \), если \( f(x) = x^2 — 6x + 9 \)
Решение:
\(f'(x) = 2x — 6\).
Приравняем к нулю:
\[
2x — 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3.
\]
✅ Ответ: \( x = 3 \).
Вы смотрели: Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа по § 45. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 7 В1.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных работ.