Алгебра Алимов Самостоятельная 6 В2

Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа № 6 с ответами Вариант 2 по § 44. Производная. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 6 В2.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных

Алгебра 11 класс Алимов
Самостоятельная № 6. Вариант 2

Проверяемая тема учебника: § 44. Производная.

Справочные сведения

Производная функции f(x) в точке х обозначается f’(x) и определяется формулой

Если функция f(x) имеет в точке х₀ производную, то эта функция называется дифференцируемой в точке х₀. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Если С ─ заданное число, то С’ = 0.
Формула производной линейной функции: (kx + b)’ = k.

Примеры с решениями

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ПРИМЕРЫ

   

Задания. Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

Для заданной функции \( f(x) \) найти \( f(x + h) \)  (1—2).

1. \( f(x) = e^{2x+1} \). Найти \( f(x + h) \).
Решение.
Подставляем \( x + h \) вместо \( x \) в выражение функции:
\[
f(x+h) = e^{2(x+h)+1} = e^{2x + 2h + 1}.
\] ✅ Ответ: \( f(x+h) = e^{2x+2h+1} \).

2. \( f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 3x^2 \). Найти \( f(x + h) \).
Решение.
Заменяем \( x \) на \( x + h \):
\[
f(x+h) = \operatorname{tg} \frac{x+h}{2} — 3(x+h)^2.
\] Раскрываем квадрат:
\[
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.
\] Таким образом:
\[
f(x+h) = \operatorname{tg} \frac{x+h}{2} — 3x^2 — 6xh — 3h^2.
\] ✅ Ответ: \( f(x+h) = \operatorname{tg} \frac{x+h}{2} — 3x^2 — 6xh — 3h^2 \).

С помощью определения производной найти производную заданной функции (3—4).

3. \( f(x) = 5x — 2 \). Найти производную с помощью определения.
Решение.
По определению:
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) — f(x)}{h}.
\] Вычислим разность:
\[
f(x+h) — f(x) = (5(x+h) — 2) — (5x — 2) = 5x + 5h — 2 — 5x + 2 = 5h.
\] Тогда:
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5h}{h} = \lim_{h \to 0} 5 = 5.
\] ✅ Ответ: \( f'(x) = 5 \).

4. \( f(x) = 2x — 3x^2 \). Найти производную с помощью определения.
Решение.
По определению:
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) — f(x)}{h}.
\] Найдем \( f(x+h) \):
\[
f(x+h) = 2(x+h) — 3(x+h)^2 = 2x + 2h — 3(x^2 + 2xh + h^2).
\] Раскрываем скобки:
\[
f(x+h) = 2x + 2h — 3x^2 — 6xh — 3h^2.
\] Разность:
\[
f(x+h) — f(x) = (2x + 2h — 3x^2 — 6xh — 3h^2) — (2x — 3x^2) = 2h — 6xh — 3h^2.
\] Делим на \( h \):
\[
\frac{f(x+h) — f(x)}{h} = \frac{2h — 6xh — 3h^2}{h} = 2 — 6x — 3h.
\] Переходим к пределу:
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} (2 — 6x — 3h) = 2 — 6x.
\] ✅ Ответ: \( f'(x) = 2 — 6x \).

Найти \( f'(x) \), используя формулу производной линейной функции (5—7).

5. \( f(x) = 0,1x + 3 \). Найти \( f'(x) \), используя формулу производной линейной функции.
Решение.
Линейная функция \( f(x) = kx + b \) имеет производную \( f'(x) = k \). Здесь \( k = 0,1 \).
Следовательно:
\[
f'(x) = 0,1.
\] ✅ Ответ: \( f'(x) = 0,1 \).

6. \( f(x) = \frac{2x}{3} — 7 + 2\pi \). Найти \( f'(x) \).
Решение.
Запишем функцию в виде \( f(x) = \frac{2}{3}x + (-7 + 2\pi) \).
Коэффициент при \( x \) равен \( \frac{2}{3} \). Производная линейной функции:
\[
f'(x) = \frac{2}{3}.
\] ✅ Ответ: \( f'(x) = \frac{2}{3} \).

7. \( f(x) = -4 + x \lg 2 \). Найти \( f'(x) \).
Решение.
Функция имеет вид \( f(x) = (\lg 2) \cdot x — 4 \). Коэффициент при \( x \) равен \( \lg 2 \).
Производная:
\[
f'(x) = \lg 2.
\] ✅ Ответ: \( f'(x) = \lg 2 \).

8. Точка движется по закону \( s(t) = \frac{t^2}{2} \). Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от \( t = 1 \) до \( t + h = 5 \).
Решение.
Средняя скорость \( v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1} \).
Здесь \( t_1 = 1 \), \( t_2 = 5 \).
Вычислим:
\[
s(1) = \frac{1^2}{2} = 0,5, \quad s(5) = \frac{5^2}{2} = \frac{25}{2} = 12,5.
\] Разность путей: \( 12,5 — 0,5 = 12 \).
Время: \( 5 — 1 = 4 \).
Средняя скорость:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{12}{4} = 3.
\] ✅ Ответ: \( v_{\text{ср}} = 3 \) (единицы скорости).

9. Точка движется по закону \( s(t) = 0,1t^2 \). Найти мгновенную скорость движения и скорость движения в момент времени \( t = 20 \).
Решение.
Мгновенная скорость — это производная пути по времени:
\[
v(t) = s'(t) = 0,1 \cdot 2t = 0,2t.
\] В момент \( t = 20 \):
\[
v(20) = 0,2 \cdot 20 = 4.
\] ✅ Ответ: Мгновенная скорость: \( v(t) = 0,2t \);
в момент \( t = 20 \): \( v = 4 \) (единицы скорости).

Вы смотрели: Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа по § 44. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 6 В2.

Вернуться к СПИСКУ самостоятельных работ.