Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа № 6 с ответами Вариант 1 по § 44. Производная. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 6 В1.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных
Алгебра 11 класс Алимов
Самостоятельная № 6. Вариант 1
Проверяемая тема учебника: § 44. Производная.
Справочные сведения
Производная функции f(x) в точке х обозначается f’(x) и определяется формулой
Если функция f(x) имеет в точке х0 производную, то эта функция называется дифференцируемой в точке х0. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то функция называется дифференцируемой на этом промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Если С ─ заданное число, то С’ = 0.
Формула производной линейной функции: (kx + b)’ = k.
Примеры с решениями
Задания. Вариант 1
Для заданной функции \( f(x) \) найти \( f(x + h) \) (1—2).
1. \( f(x) = \lg(3x — 1) \). Найти \( f(x + h) \).
Решение:
Чтобы найти \( f(x + h) \), нужно в исходную функцию вместо \( x \) подставить выражение \( (x + h) \):
\[
f(x + h) = \lg(3(x + h) — 1) = \lg(3x + 3h — 1).
\]
✅ Ответ: \( \lg(3x + 3h — 1) \).
2. \( f(x) = \frac{x^2}{3} — \sin 2x \). Найти \( f(x + h) \).
Решение:
Подставляем \( (x + h) \) вместо \( x \):
\[
f(x + h) = \frac{(x + h)^2}{3} — \sin(2(x + h)) =
\]
\[
= \frac{x^2 + 2xh + h^2}{3} — \sin(2x + 2h).
\]
✅ Ответ: \( \frac{x^2 + 2xh + h^2}{3} — \sin(2x + 2h) \).
С помощью определения производной найти производную заданной функции (3—4).
3. С помощью определения производной найти производную \( f(x) = 4x — 1 \).
Решение:
Используем определение производной: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) — f(x)}{h} \).
1. \( f(x+h) = 4(x+h) — 1 = 4x + 4h — 1 \).
2. \( f(x+h) — f(x) = (4x + 4h — 1) — (4x — 1) = 4h \).
3. \( \frac{f(x+h) — f(x)}{h} = \frac{4h}{h} = 4 \).
4. \( f'(x) = \lim_{h \to 0} 4 = 4 \).
✅ Ответ: \( f'(x) = 4 \).
4. С помощью определения производной найти производную \( f(x) = 5x^2 — 3x \).
Решение:
1. \( f(x+h) = 5(x+h)^2 — 3(x+h) = 5(x^2 + 2xh + h^2) — 3x — 3h = 5x^2 + 10xh + 5h^2 — 3x — 3h \).
2. \( f(x+h) — f(x) = (5x^2 + 10xh + 5h^2 — 3x — 3h) — (5x^2 — 3x) = 10xh + 5h^2 — 3h \).
3. \( \frac{f(x+h) — f(x)}{h} = \frac{10xh + 5h^2 — 3h}{h} = 10x + 5h — 3 \).
4. \( f'(x) = \lim_{h \to 0} (10x + 5h — 3) = 10x — 3 \).
✅ Ответ: \( f'(x) = 10x — 3 \).
Найти \( f'(x) \), используя формулу производной линейной функции (5—7).
5. Найти \( f'(x) \), используя формулу производной линейной функции: \( f(x) = 18x — 0,5 \).
Решение:
Производная линейной функции \( y = kx + b \) равна \( k \). Здесь \( k = 18 \), \( b = -0,5 \). Следовательно, \( f'(x) = 18 \).
✅ Ответ: \( f'(x) = 18 \).
6. Найти \( f'(x) \), используя формулу производной линейной функции: \( f(x) = -\frac{x}{3} + 8 — \pi \).
Решение:
Перепишем функцию в виде \( f(x) = -\frac{1}{3}x + (8 — \pi) \). Коэффициент \( k = -\frac{1}{3} \). Производная равна этому коэффициенту: \( f'(x) = -\frac{1}{3} \).
✅ Ответ: \( f'(x) = -\frac{1}{3} \).
7. Найти \( f'(x) \), используя формулу производной линейной функции: \( f(x) = 15 — x\sqrt{2} \).
Решение:
Перепишем: \( f(x) = -\sqrt{2} \cdot x + 15 \). Коэффициент \( k = -\sqrt{2} \). Производная: \( f'(x) = -\sqrt{2} \).
✅ Ответ: \( f'(x) = -\sqrt{2} \).
8. Точка движется по закону \( s(t) = 3t^2 \). Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от \( t = 3 \) до \( t + h = 5 \).
Решение:
Средняя скорость \( v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1} \).
Дано: \( t_1 = 3 \), \( t_2 = t + h = 5 \). Следовательно, \( \Delta t = 5 — 3 = 2 \).
Находим перемещение:
\( s(3) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27 \).
\( s(5) = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 \).
\( \Delta s = 75 — 27 = 48 \).
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \frac{48}{2} = 24 \).
✅ Ответ: 24.
9. Точка движется по закону \( s(t) = \frac{t^2}{3} \). Найти мгновенную скорость движения и скорость движения в момент времени \( t = 15 \).
Решение:
Мгновенная скорость — это производная от пути по времени: \( v(t) = s'(t) \).
1. Находим производную: \( s'(t) = \left( \frac{1}{3} t^2 \right)’ = \frac{1}{3} \cdot 2t = \frac{2t}{3} \).
Это и есть формула мгновенной скорости.
2. Находим скорость в момент \( t = 15 \): \( v(15) = \frac{2 \cdot 15}{3} = \frac{30}{3} = 10 \).
✅ Ответ: Мгновенная скорость: \( v(t) = \frac{2t}{3} \); скорость в момент \( t=15 \): \( v(15) = 10 \).
Вы смотрели: Алгебра 11 класс УМК Алимов Самостоятельная работа по § 44. Дидактические материалы Шабунин Ткачёва Фёдорова. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Самостоятельная 6 В1.
Вернуться к СПИСКУ самостоятельных работ.