Алгебра 11 класс УМК Алимов. Контрольная работа № 5 с решениями Глава XI. Комбинаторика Вариант 1. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 5 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 5. Вариант 1
Проверяемая тема: Глава XI. Комбинаторика
- 1. Найти значение выражения: 1) 12! / P_10; 2) А^3_6 + C^2_7.
- 2. Сколькими способами можно выбрать председателя ЖСК и его заместителя из 20 членов ЖСК?
- 3. Записать разложение бинома (а ─ 2)6.
- 4. Решить относительно m уравнение С^3_{m+5} = 8 • (m + 4).
- 5. Из трёх последовательных букв и присоединённого к ним четырёхзначного числа составляют код. Буквы без повторения выбирают из набора: б, в, г, д, ж, з. Число записывают с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в числе могут повторяться). Сколько различных кодов, удовлетворяющих данному условию, можно составить?
Ответы на Вариант 1
№ 1. Найти значение выражения:
1) \( \frac{12!}{P_{10}} \);
2) \( A^3_6 + C^2_7 \).
Решение:
1) \( P_{10} \) — это \( P_{10} = 10! \) (перестановки из 10 элементов).
\[
\frac{12!}{P_{10}} = \frac{12!}{10!} = 12 \times 11 = 132.
\]
2)
\[
A^3_6 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120.
\]
\[
C^2_7 = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21.
\]
\[
A^3_6 + C^2_7 = 120 + 21 = 141.
\]
Ответ: 1) 132; 2) 141.
№ 2. Сколькими способами можно выбрать председателя ЖСК и его заместителя из 20 членов ЖСК?
Решение. Выбираем председателя: 20 способов.
После этого выбираем заместителя из оставшихся 19 человек: 19 способов.
По правилу умножения: 20 • 19 = 380.
Ответ: 380 способов.
№ 3. Записать разложение бинома \((a — 2)^6\).
Решение. Используем бином Ньютона:
\[
(a — 2)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot a^{6-k} \cdot (-2)^k.
\]
Выпишем по порядку \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \):
\[
C_6^0 a^6 (-2)^0 = 1 \cdot a^6 \cdot 1 = a^6,
\]
\[
C_6^1 a^5 (-2)^1 = 6 a^5 \cdot (-2) = -12 a^5,
\]
\[
C_6^2 a^4 (-2)^2 = 15 a^4 \cdot 4 = 60 a^4,
\]
\[
C_6^3 a^3 (-2)^3 = 20 a^3 \cdot (-8) = -160 a^3,
\]
\[
C_6^4 a^2 (-2)^4 = 15 a^2 \cdot 16 = 240 a^2,
\]
\[
C_6^5 a^1 (-2)^5 = 6 a \cdot (-32) = -192 a,
\]
\[
C_6^6 a^0 (-2)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 64 = 64.
\]
Итого:
\[
(a — 2)^6 = a^6 — 12a^5 + 60a^4 — 160a^3 + 240a^2 — 192a + 64.
\]
Ответ: \( a^6 — 12a^5 + 60a^4 — 160a^3 + 240a^2 — 192a + 64 \).
№ 4. Решить относительно \( m \) уравнение
\[
C^3_{m+5} = 8 \cdot (m + 4).
\]
Решение:
\[
C^3_{m+5} = \frac{(m+5)!}{3! \cdot (m+2)!} = \frac{(m+5)(m+4)(m+3)}{6}.
\]
Уравнение:
\[
\frac{(m+5)(m+4)(m+3)}{6} = 8(m+4).
\]
При \( m+4 \neq 0 \) (т.е. \( m \neq -4 \)) можно сократить на \( m+4 \):
\[
\frac{(m+5)(m+3)}{6} = 8.
\]
\[
(m+5)(m+3) = 48.
\]
\[
m^2 + 8m + 15 = 48,
\]
\[
m^2 + 8m — 33 = 0,
\]
\[
D = 64 + 132 = 196, \quad \sqrt{D} = 14,
\]
\[
m = \frac{-8 \pm 14}{2}.
\]
\[
m_1 = \frac{-8 + 14}{2} = 3, \quad m_2 = \frac{-8 — 14}{2} = -11.
\]
Проверим \( m = 3 \):
\( C^3_{8} = \frac{8\cdot 7\cdot 6}{6} = 56 \),
\( 8 \cdot (3+4) = 8 \cdot 7 = 56 \) — верно.
Проверим \( m = -11 \):
\( C^3_{-6} \) — не определено для комбинаторики (обычно \( m+5 \ge 3 \) и целое неотрицательное, т.е. \( m+5 \ge 3 \) ⇒ \( m \ge -2 \)), поэтому \( m = -11 \) не подходит по области определения \( C^n_k \) (n должно быть натуральным числом ≥ k).
Ответ: \( m = 3 \).
№ 5. Из трёх последовательных букв и присоединённого к ним четырёхзначного числа составляют код. Буквы без повторения выбирают из набора: б, в, г, д, ж, з. Число записывают с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в числе могут повторяться). Сколько различных кодов, удовлетворяющих данному условию, можно составить?
Решение:
1) Выбор трёх различных букв из 6:
Порядок важен (буквы идут последовательно в коде как первая, вторая, третья буква), поэтому размещение:
\[
A^3_6 = 6 \times 5 \times 4 = 120.
\]
2) Четырёхзначное число: каждая цифра от 1 до 5, повторения разрешены:
\[
5^4 = 625.
\]
3) По правилу умножения:
\[
120 \times 625 = 75000.
\]
Ответ: \( 75000 \) кодов.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 5 по теме ─ Глава XI. Комбинаторика. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных