Алгебра 11 класс УМК Алимов. Контрольная работа с ответами № 5 Глава XI. Комбинаторика Вариант 2. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 5 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 5. Вариант 1
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 5. Вариант 2
Проверяемая тема: Глава XI. Комбинаторика
- 1. Найти значение выражения: 1) P_7 / 10!; 2) C^3_8 ─ A^2_6.
- 2. Сколькими способами из вазы с 8 различными конфетами можно взять 3 конфеты?
- 3. Записать разложение бинома (3 ─ х)5.
- 4. Решить относительно m уравнение А^3_{m─3} = 24 • (m ─ 4).
- 5. Из четырёх последовательных букв и присоединённого к ним трёхзначного числа составляют шифр. Буквы (с возможным повторением) выбирают из букв а, е, и, о, у. Число записывают разными цифрами, выбираемыми из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько различных шифров, удовлетворяющих данному условию, можно составить?
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Найти значение выражения:
1) \( \frac{P_7}{10!} \)
2) \( C^3_8 — A^2_6 \)
Решение:
1) \( P_7 = 7! \)
\[
\frac{P_7}{10!} = \frac{7!}{10!} = \frac{1}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{720}.
\]
2) \( C^3_8 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \)
\( A^2_6 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30 \)
\[
C^3_8 — A^2_6 = 56 — 30 = 26.
\]
Ответ:
1) \( \frac{1}{720} \)
2) \( 26 \)
№ 2. Сколькими способами из вазы с 8 различными конфетами можно взять 3 конфеты?
Решение:
Порядок выбора не важен (просто взять 3 конфеты), поэтому это число сочетаний из 8 по 3:
\[
C^3_8 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56.
\]
Ответ: \( 56 \) способов.
№ 3. Записать разложение бинома \( (3 — x)^5 \).
Решение:
По формуле бинома Ньютона:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k.
\]
Здесь \( a = 3 \), \( b = -x \), \( n = 5 \).
\[
(3 — x)^5 = \sum_{k=0}^5 C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-x)^k.
\]
Выпишем по порядку \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \):
— \( k=0 \): \( C_5^0 \cdot 3^5 \cdot (-x)^0 = 1 \cdot 243 \cdot 1 = 243 \)
— \( k=1 \): \( C_5^1 \cdot 3^4 \cdot (-x)^1 = 5 \cdot 81 \cdot (-x) = -405x \)
— \( k=2 \): \( C_5^2 \cdot 3^3 \cdot (-x)^2 = 10 \cdot 27 \cdot x^2 = 270x^2 \)
— \( k=3 \): \( C_5^3 \cdot 3^2 \cdot (-x)^3 = 10 \cdot 9 \cdot (-x^3) = -90x^3 \)
— \( k=4 \): \( C_5^4 \cdot 3^1 \cdot (-x)^4 = 5 \cdot 3 \cdot x^4 = 15x^4 \)
— \( k=5 \): \( C_5^5 \cdot 3^0 \cdot (-x)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-x^5) = -x^5 \)
Итого:
\[
(3 — x)^5 = 243 — 405x + 270x^2 — 90x^3 + 15x^4 — x^5.
\]
Ответ: \( 243 — 405x + 270x^2 — 90x^3 + 15x^4 — x^5 \)
№ 4. Решить относительно \( m \) уравнение
\[
A^3_{m-3} = 24 \cdot (m — 4).
\]
Решение:
\( A^3_{m-3} = \frac{(m-3)!}{(m-3-3)!} = \frac{(m-3)!}{(m-6)!} \) при \( m-3 \ge 3 \), т.е. \( m \ge 6 \).
\[
\frac{(m-3)!}{(m-6)!} = 24(m-4).
\]
Заметим: \( (m-3)! = (m-3)(m-4)(m-5) \cdot (m-6)! \), поэтому
\[
\frac{(m-3)!}{(m-6)!} = (m-3)(m-4)(m-5).
\]
Уравнение принимает вид:
\[
(m-3)(m-4)(m-5) = 24(m-4).
\]
При \( m \ne 4 \) (но \( m \ge 6 \), так что \( m \ne 4 \) автоматически) можно поделить на \( m-4 \):
\[
(m-3)(m-5) = 24.
\]
\[
m^2 — 8m + 15 = 24
\]
\[
m^2 — 8m — 9 = 0
\]
\[
D = 64 + 36 = 100, \quad m = \frac{8 \pm 10}{2}.
\]
\[
m_1 = 9, \quad m_2 = -1.
\]
Условие \( m \ge 6 \) удовлетворяет только \( m = 9 \).
Проверка:
\( m = 9 \):
\( A^3_{9-3} = A^3_6 = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \).
Правая часть: \( 24 \cdot (9-4) = 24 \cdot 5 = 120 \). Верно.
Ответ: \( m = 9 \)
№ 5. Из четырёх последовательных букв и присоединённого к ним трёхзначного числа составляют шифр. Буквы (с возможным повторением) выбирают из букв а, е, и, о, у. Число записывают разными цифрами, выбираемыми из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько различных шифров, удовлетворяющих данному условию, можно составить?
Решение:
1) Буквенная часть: 4 буквы, каждая выбирается из 5 букв {а, е, и, о, у}, повторения разрешены.
Число вариантов: \( 5^4 = 625 \).
2) Числовая часть: трёхзначное число, все цифры разные, выбираются из {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (7 цифр).
Порядок цифр важен (число трёхзначное).
Число размещений из 7 по 3:
\[
A^3_7 = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210.
\]
3) Объединение: буквы и число выбираются независимо, поэтому общее число шифров:
\[
5^4 \cdot A^3_7 = 625 \cdot 210 = 131250.
\]
Ответ: \( 131250 \) шифров.
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 5 в2 по теме ─ Глава XI. Комбинаторика. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных