Алгебра 11 класс УМК Алимов. Контрольная работа № 4 с ответами Глава X. Интеграл с ответами Вариант 1. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 4 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 4. Вариант 2
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 4. Вариант 1
Проверяемая тема: Глава X. Интеграл
- 1. Доказать, что функция F(х) = 3х + sin х ─ е2х является первообразной функции f(x) = 3 + cos х ─ 2е2х на всей числовой прямой.
- 2. Найти первообразную F функции f(x) = 2√х, график которой проходит через точку А(0; 7/8).
- 3. Вычислить площадь фигуры F, изображённой на рисунке 90.
- 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 1 ─ 2х и графиком функции у = х2 ─ 5x ─ 3.
Ответы на Вариант 1
№ 1. Доказать, что функция \( F(x) = 3x + \sin x — e^{2x} \) является первообразной функции \( f(x) = 3 + \cos x — 2e^{2x} \) на всей числовой прямой.
Решение:
Чтобы доказать, что \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \), нужно проверить, что \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Найдём производную \( F(x) \):
\[
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( 3x + \sin x — e^{2x} \right)
\]
\[
F'(x) = 3 + \cos x — e^{2x} \cdot 2
\]
\[
F'(x) = 3 + \cos x — 2e^{2x}
\]
Сравниваем с \( f(x) \):
\[
f(x) = 3 + \cos x — 2e^{2x}
\]
Получили \( F'(x) = f(x) \) для любого \( x \), значит, \( F(x) \) — первообразная \( f(x) \) на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, так как \( F'(x) = f(x) \).
№ 2. Найти первообразную \( F \) функции \( f(x) = 2\sqrt{x} \), график которой проходит через точку \( A(0; \frac{7}{8}) \).
Решение: Найдём общий вид первообразной:
\[
F(x) = \int 2\sqrt{x} \, dx = \int 2x^{1/2} \, dx
\]
\[
F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C
\]
\[
F(x) = \frac{4}{3} x^{3/2} + C
\]
График проходит через точку \( A(0; \frac{7}{8}) \), значит, \( F(0) = \frac{7}{8} \):
\[
F(0) = \frac{4}{3} \cdot 0^{3/2} + C = C
\]
\[
C = \frac{7}{8}
\]
Искомая первообразная:
\[
F(x) = \frac{4}{3} x^{3/2} + \frac{7}{8}
\]
Ответ:
\( F(x) = \frac{4}{3} x^{3/2} + \frac{7}{8} \).
№ 3. Вычислить площадь фигуры \( F \), изображённой на рисунке 90.
Разберём задачу пошагово.
Шаг 1. Анализ фигуры и построение чертежа. Фигура $F$ ограничена следующими линиями:
1. Вертикальный отрезок от $(1; 0)$ до $(1; 1)$.
2. Прямая от $(2; 2)$ до $(0; 0)$, уравнение которой: $y = x$.
3. Горизонтальный отрезок от $(2; 0)$ до $(1; 0)$.
4. Участок параболы $y = x^2 — 2x + 2$ от $(1; 1)$ до $(2; 2)$.
Проверим, что точки $(1; 1)$ и $(2; 2)$ лежат на параболе:
* При $x = 1$: $y = 1^2 — 2 \cdot 1 + 2 = 1$.
* При $x = 2$: $y = 2^2 — 2 \cdot 2 + 2 = 2$.
Шаг 2. Разбиение фигуры на части. Для удобства вычисления разобьём фигуру на части. Анализ показывает, что фигура $F$ — это область между:
* прямой $y = x$ (нижняя граница);
* параболой $y = x^2 — 2x + 2$ (верхняя граница);
* вертикалью $x = 1$;
* горизонталью $y = 0$ от $x = 1$ до $x = 2$.
Но ключевая часть — это разница между параболой и прямой на $[1; 2]$, так как слева от $x = 1$ фигура не ограничена параболой.
Шаг 3. Вычисление площади. Площадь фигуры $F$ можно вычислить как разность площадей под параболой и под прямой на отрезке $[1; 2]$:
$$
S = \int_{1}^{2} \left( (x^2 — 2x + 2) — x \right) dx = \int_{1}^{2} (x^2 — 3x + 2) dx.
$$
Вычислим интеграл:
$$
\int (x^2 — 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} + 2x + C.
$$
Подставим пределы интегрирования:
$$
S = \left[ \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{2}.
$$
Вычислим значения в точках $x = 2$ и $x = 1$:
* При $x = 2$:
$$
\frac{2^3}{3} — \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} — 6 + 4 = \frac{8}{3} — 2 = \frac{8}{3} — \frac{6}{3} = \frac{2}{3}.
$$
* При $x = 1$:
$$
\frac{1^3}{3} — \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} — \frac{3}{2} + 2 = \frac{2}{6} — \frac{9}{6} + \frac{12}{6} = \frac{5}{6}.
$$
Теперь найдём разность:
$$
S = \frac{2}{3} — \frac{5}{6} = \frac{4}{6} — \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}.
$$
Отрицательное значение говорит о том, что мы неверно определили, какая функция выше. На самом деле на $[1; 2]$ прямая $y = x$ лежит выше параболы $y = x^2 — 2x + 2$. Поэтому правильно:
$$
S = \int_{1}^{2} \left( x — (x^2 — 2x + 2) \right) dx = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x — 2) dx.
$$
Вычислим новый интеграл:
$$
\int (-x^2 + 3x — 2) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} — 2x + C.
$$
Подставляем пределы:
* При $x = 2$:
$$
-\frac{8}{3} + 6 — 4 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}.
$$
* При $x = 1$:
$$
-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} — 2 = -\frac{2}{6} + \frac{9}{6} — \frac{12}{6} = -\frac{5}{6}.
$$
Разность:
$$
S = -\frac{2}{3} — \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.
$$
Шаг 4. Проверка. Проверим значения функций на $[1; 2]$:
* В точке $x = 1{,}5$:
* $y = x = 1{,}5$.
* $y = x^2 — 2x + 2 = 2{,}25 — 3 + 2 = 1{,}25$.
Ответ: площадь фигуры $F$ равна $\frac{1}{6}$ квадратных единиц.
№ 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой \( y = 1 — 2x \) и графиком функции \( y = x^2 — 5x — 3 \).
Решение: Найдём точки пересечения:
\[
1 — 2x = x^2 — 5x — 3
\]
\[
0 = x^2 — 5x — 3 + 2x — 1
\]
\[
x^2 — 3x — 4 = 0
\]
\[
D = 9 + 16 = 25
\]
\[
x = \frac{3 \pm 5}{2}
\]
\[
x_1 = -1, \quad x_2 = 4
\]
На отрезке \([-1, 4]\) определим, какая функция выше. Проверим \( x=0 \): прямая \( y=1 \), парабола \( y=-3 \), значит, прямая выше параболы.
Площадь:
\[
S = \int_{-1}^{4} \left[ (1 — 2x) — (x^2 — 5x — 3) \right] dx
\]
\[
= \int_{-1}^{4} \left( 1 — 2x — x^2 + 5x + 3 \right) dx
\]
\[
= \int_{-1}^{4} \left( -x^2 + 3x + 4 \right) dx
\]
Найдём первообразную:
\[
\int (-x^2 + 3x + 4) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x + C
\]
Вычислим:
\[
F(4) = -\frac{64}{3} + \frac{3\cdot 16}{2} + 16 = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = -\frac{64}{3} + 40
\]
\[
= \frac{-64 + 120}{3} = \frac{56}{3}
\]
\[
F(-1) = -\frac{-1}{3} + \frac{3\cdot 1}{2} — 4 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} — 4
\]
\[
= \frac{2}{6} + \frac{9}{6} — \frac{24}{6} = \frac{-13}{6}
\]
Разность:
\[
S = F(4) — F(-1) = \frac{56}{3} — \left( -\frac{13}{6} \right) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6}
\]
\[
= \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}
\]
Ответ:
\( S = \frac{125}{6} \).
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 4 по теме ─ Глава X. Интеграл. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных