Алгебра Алимов Контрольная 4 в2

Алгебра 11 класс УМК Алимов. Контрольная работа с ответами № 4 Интеграл Вариант 2. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 4 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 4. Вариант 1

Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 4. Вариант 2

Проверяемая тема: Глава X. Интеграл

• 1. Доказать, что функция F(х) = е^3х + cos х + х является первообразной функции f(х) = 3е^3х ─ sin х + 1 на всей числовой прямой.
• 2. Найти первообразную F функции f(x) = ─3³√x, график которой проходит через точку A(0; ¾).
• 3. Вычислить площадь фигуры F, изображённой на рисунке 91.
• 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3 ─ 2х и графиком функции у = х² + 3х ─ 3.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Доказать, что функция F(х) = е³ˣ + cos х + х является первообразной функции f(х) = 3е³ˣ – sin х + 1 на всей числовой прямой.
Решение:
Чтобы доказать, что \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \), нужно найти производную \( F'(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).
\[
F(x) = e^{3x} + \cos x + x
\] \[
F'(x) = \frac{d}{dx}(e^{3x}) + \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(x)
\] \[
F'(x) = e^{3x} \cdot 3 + (-\sin x) + 1
\] \[
F'(x) = 3e^{3x} — \sin x + 1
\] Получили \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), значит, \( F(x) \) — первообразная для \( f(x) \) на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано.

№ 2. Найти первообразную F функции \( f(x) = -3\sqrt[3]{x} \), график которой проходит через точку A(0; ¾).
Решение:
Запишем \( f(x) = -3x^{1/3} \).
Общий вид первообразной:
\[
F(x) = \int (-3x^{1/3}) \, dx = -3 \cdot \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C
\] \[
-3 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = -3 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} + C
\] \[
F(x) = -\frac{9}{4} x^{4/3} + C
\] График проходит через \( A(0; \frac{3}{4}) \), значит, \( F(0) = \frac{3}{4} \):
\[
-\frac{9}{4} \cdot 0 + C = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{3}{4}
\] Искомая первообразная:
\[
F(x) = -\frac{9}{4} x^{4/3} + \frac{3}{4}
\] Ответ: \( F(x) = -\frac{9}{4} \sqrt[3]{x^4} + \frac{3}{4} \).

№ 3. Вычислить площадь фигуры F, изображённой на рисунке 91.
Решение:
По описанию: фигура — трапеция с верхним основанием, заданным дугой параболы \( y = -x^2 + 6x — 5 \) от \( x = 2 \) до \( x = 3 \), боковые стороны вертикальные \( x = 2 \) и \( x = 3 \), нижнее основание на оси \( y = 0 \) от \( x = 2 \) до \( x = 3 \).
Но по точкам:
— От (2;0) до (2;3) — прямая (левая боковая сторона).
— От (3;4) до (3;0) — прямая (правая боковая сторона).
— От (3;0) до (2;0) — прямая (нижнее основание).
— От (2;3) до (3;4) — участок параболы \( y = -x^2 + 6x — 5 \).
Проверим параболу:
При \( x = 2 \): \( y = -4 + 12 — 5 = 3 \) — совпадает с точкой (2;3).
При \( x = 3 \): \( y = -9 + 18 — 5 = 4 \) — совпадает с точкой (3;4).
Значит, верхняя граница фигуры — парабола \( y = -x^2 + 6x — 5 \) на отрезке [2; 3].
Нижняя граница — ось \( y = 0 \) (отрезок от x=2 до x=3).
Площадь:
\[
S = \int_{2}^{3} \big[(-x^2 + 6x — 5) — 0\big] \, dx
\] \[
= \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x — 5) \, dx
\] \[
= \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 — 5x \right]_{2}^{3}
\] Вычислим:
При \( x = 3 \):
\[
-\frac{27}{3} + 3 \cdot 9 — 15 = -9 + 27 — 15 = 3
\] При \( x = 2 \):
\[
-\frac{8}{3} + 3 \cdot 4 — 10 = -\frac{8}{3} + 12 — 10 = 2 — \frac{8}{3} = \frac{6}{3} — \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}
\] Разность:
\[
3 — \left( -\frac{2}{3} \right) = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}
\] Ответ: \( S = \frac{11}{3} \) кв. ед.

№ 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой \( y = 3 — 2x \) и графиком функции \( y = x^2 + 3x — 3 \).
Решение: Найдём точки пересечения:
\[
x^2 + 3x — 3 = 3 — 2x
\] \[
x^2 + 5x — 6 = 0
\] \[
D = 25 + 24 = 49
\] \[
x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{2}
\] \[
x_1 = 1, \quad x_2 = -6
\] На отрезке \([-6; 1]\) прямая \( y = 3 — 2x \) выше параболы \( y = x^2 + 3x — 3 \) (проверим в точке 0: прямая 3, парабола -3).
Площадь:
\[
S = \int_{-6}^{1} \big[(3 — 2x) — (x^2 + 3x — 3)\big] \, dx
\] \[
= \int_{-6}^{1} (3 — 2x — x^2 — 3x + 3) \, dx
\] \[
= \int_{-6}^{1} (6 — 5x — x^2) \, dx
\] \[
= \left[ 6x — \frac{5x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right]_{-6}^{1}
\] Вычислим:
При \( x = 1 \):
\[
6 — \frac{5}{2} — \frac{1}{3} = 6 — 2.5 — \frac{1}{3} = 3.5 — \frac{1}{3} = \frac{7}{2} — \frac{1}{3} = \frac{21 — 2}{6} = \frac{19}{6}
\] При \( x = -6 \):
\[
6 \cdot (-6) — \frac{5 \cdot 36}{2} — \frac{(-216)}{3} = -36 — 90 + 72 = -54
\] Разность:
\[
\frac{19}{6} — (-54) = \frac{19}{6} + 54 = \frac{19}{6} + \frac{324}{6} = \frac{343}{6}
\] Ответ: \( S = \frac{343}{6} \) кв. ед.

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 4 в2 по теме ─ Интеграл. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных