Алгебра Алимов Контрольная 3 в1

Алгебра 11 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 3 Глава IX. Применение производной к исследованию функций Вариант 1. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 3 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 3. Вариант 2

Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 3. Вариант 1

Проверяемая тема: Глава IX. Применение производной к исследованию функций

• № 1. Найти стационарные точки функции f(x) = х³ ─ 2х² + х + 3.
• № 2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = х³ ─ 2х² + х + 3; 2) f(x) = е^х (2х ─ 3).
• № 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = х³ ─ 2х² + х + 3.
• № 4. Построить график функции f(x) = х³ ─ 2х² + х + 3 на отрезке [─1; 2].
• № 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х³ ─ 2х² + х + 3 на отрезке [0; 3/2].
• № 6. Среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Найти стационарные точки функции
f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3.
Решение. Находим производную:
f'(x) = 3x² ─ 4x + 1.
Приравниваем к нулю:
3x² ─ 4x + 1 = 0.
Дискриминант: D = 16 ─ 12 = 4.
Корни: x₁ = (4 + 2)/6 = 1,
x₂ = (4 ─ 2)/6 = 1/3.
Ответ: стационарные точки x = 1/3 и x = 1.

№ 2. Найти экстремумы функции:
1) f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3;
2) f(x) = e^x (2x ─ 3).
Решение:
1) Используем стационарные точки из №1: x₁ = 1/3, x₂ = 1.
Вторая производная: f»(x) = 6x ─ 4.
f»(1/3) = 2 ─ 4 = ─2 < 0 ⇒ максимум,
f»(1) = 6 ─ 4 = 2 > 0 ⇒ минимум.
Значения:
f(1/3) = 1/27 ─ 2/9 + 1/3 + 3 = (1 ─ 6 + 9)/27 + 3 = 4/27 + 3 = 85/27 ≈ 3.148 (макс),
f(1) = 1 ─ 2 + 1 + 3 = 3 (мин).
2) f'(x) = e^x (2x ─ 3) + e^x • 2 = e^x (2x ─ 3 + 2) = e^x (2x ─ 1).
f'(x) = 0 ⇒ 2x ─ 1 = 0 ⇒ x = 0.5.
f»(x) = e^x (2x ─ 1) + e^x • 2 = e^x (2x + 1).
f»(0.5) = e^0.5 (1 + 1) = 2e^0.5 > 0 ⇒ минимум.
f(0.5) = e^0.5 (1 ─ 3) = ─2e^0.5 ≈ ─3.297.
Ответы: 1) максимум (1/3; 85/27), минимум (1; 3);
2) минимум (0.5; ─2√e).

№ 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции
f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3.
Решение:
f'(x) = 3x² ─ 4x + 1, корни 1/3 и 1.
Парабола f'(x) ветвями вверх ⇒
f'(x) > 0 при x < 1/3 и x > 1 ⇒ возрастает на (─∞; 1/3) ∪ (1; + ∞),
f'(x) < 0 при 1/3 < x < 1 ⇒ убывает на (1/3; 1).
Ответ: возрастает на (─∞; 1/3] и [1; + ∞), убывает на [1/3; 1].

№ 4. Построить график функции f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3 на отрезке [─1; 2].
Решение. Вычислим значения:
f(─1) = ─1 ─ 2 ─ 1 + 3 = ─1,
f(0) = 3,
f(1/3) ≈ 3.148 (макс),
f(1) = 3 (мин),
f(2) = 8 ─ 8 + 2 + 3 = 5.
Точки: (─1; ─1), (0; 3), (1/3; 3.148), (1; 3), (2; 5).
График — кубическая парабола с максимумом в x ≈ 0.333, минимумом в x = 1, возрастает на концах отрезка.

Ответ: график проходит через указанные точки, форма по производной.

№ 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x³ ─ 2x² + x + 3 на отрезке [0; 3/2].
Решение: Критические точки внутри отрезка: x₁ = 1/3, x₂ = 1.
Значения: f(0) = 3,
f(1/3) = 85/27 ≈ 3.148,
f(1) = 3,
f(3/2) = 27/8 ─ 9/2 + 3/2 + 3 = 27/8 ─ 3 + 3 = 27/8 = 3.375.
Наибольшее: 3.375 при x = 3/2,
Наименьшее: 3 при x = 0 и x = 1.
Ответ: max = 27/8 при x = 3/2, min = 3 при x = 0 и x = 1.

№ 6. Среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.
Решение: Пусть стороны a и b. Условие: a + 2b = 20 (если b — две одинаковые стороны, например, прямоугольник стоит на длинной стороне a, а две боковые — b, или наоборот, но площадь одинакова при замене a на b, если считать три стороны как одна длина и две ширины).
Тогда a = 20 ─ 2b, b > 0, a > 0 ⇒ b < 10.
Площадь S = a • b = (20 ─ 2b)b = 20b ─ 2b².
Производная: S’b = 20 ─ 4b = 0 ⇒ b = 5, a = 20 ─ 10 = 10.
Проверка: S»b = ─4 < 0 ⇒ максимум.
S_{max} = 10 • 5 = 50.
Ответ: прямоугольник со сторонами 10 и 5 имеет наибольшую площадь 50.

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 3 по теме ─ Глава IX. Применение производной к исследованию функций. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных