Алгебра 11 класс УМК Алимов. Контрольная работа с ответами № 3 Применение производной к исследованию функций Вариант 2. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 3 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 3. Вариант 1
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 3. Вариант 2
Проверяемая тема: Применение производной к исследованию функций.
- № 1. Найти стационарные точки функции f(x) = х3 ─ х2 ─ х + 2.
- № 2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = х3 ─ х2 ─ х + 2; 2) f(x) = (5 ─ 4х) ех.
- № 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = х3 ─ х2 ─ х + 2.
- № 4. Построить график функции f(x) = х3 ─ х2 ─ х + 2 на отрезке [─1; 2].
- № 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х3 ─ х2 ─ х + 2 на отрезке [─1; 3/2].
- № 6. Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Найти стационарные точки функции f(x) = х³ – х² – х + 2.
Решение: Стационарные точки — точки, где f'(x) = 0 или производная не существует.
f'(x) = 3x² ─ 2x ─ 1.
Решаем уравнение:
3x² ─ 2x ─ 1 = 0,
D = 4 + 12 = 16,
x_{1,2} = 2 ± 4/6,
x₁ = 1, x₂ = ─ 1/3.
Ответ: x = ─ 1/3, x = 1.
№ 2. Найти экстремумы функции:
► 1) f(x) = x³ ─ x² ─ x + 2
Решение: Найдём производную: f'(x) = 3x² ─ 2x ─ 1.
Стационарные точки: x₁ = ─ 1/3, x₂ = 1.
Вторая производная: f»(x) = 6x ─ 2.
f»(─ 1/3) = 6 • (─ 1/3) ─ 2 = ─2 ─ 2 = ─4 < 0 ⇒ максимум.
f»(1) = 6 ─ 2 = 4 > 0 ⇒ минимум.
Значения функции:
f(─1/3) = ─ 1/27 ─ 1/9 + 1/3 + 2 = ─ 1/27 ─ 3/27 + 9/27 + 2 = 5/27 + 2 = 59/27.
f(1) = 1 ─ 1 ─ 1 + 2 = 1.
Ответ: Максимум: f_{max} = 59/27 при x = ─ 1/3;
Минимум: f_{min} = 1 при x = 1.
► 2) f(x) = (5 ─ 4x) e^x
Решение. Производная:
f'(x) = ─4 e^x + (5 ─ 4x) e^x = e^x (5 ─ 4x ─ 4) = e^x (1 ─ 4x).
f'(x) = 0 ⇒ 1 ─ 4x = 0 ⇒ x = (1/4).
Вторая производная:
f»(x) = e^x (1 ─ 4x) + e^x (─4) = e^x (1 ─ 4x ─ 4) = e^x (─3 ─ 4x).
f»((1/4)) = e^{1/4} (─3 ─ 1) = ─4 e^{1/4} < 0 ⇒ максимум.
Значение: f(1/4) = (5 ─ 1) e^{1/4} = 4 e^{1/4}.
Ответ: Максимум: f_{max} = 4 e^{1/4} при x = ¼; минимумов нет.
№ 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x³ – x² – x + 2.
Решение: f'(x) = 3x² ─ 2x ─ 1.
Корни: x₁ = ─(1/3), x₂ = 1.
Метод интервалов:
f'(x) > 0 при x < ─(1/3) (так как коэффициент при x² положительный, парабола ветвями вверх).
Проверим знак на интервалах:
(─∞, ─1/3) : возьмём x = ─1, f'(─1) = 3 + 2 ─ 1 = 4 > 0 ⇒ возрастает.
(─1/3, 1) : x = 0, f'(0) = ─1 < 0 ⇒ убывает.
(1, + ∞) : x = 2, f'(2) = 12 ─ 4 ─ 1 = 7 > 0 ⇒ возрастает.
Ответ: Возрастает: (─∞, ─1/3] ∪ [1, + ∞);
Убывает: [─(1/3), 1].
№ 4. Построить график функции f(x) = x³ – x² – x + 2 на отрезке [–1; 2].
Решение:
Найдём значения в ключевых точках:
f(─1) = ─1 ─ 1 + 1 + 2 = 1,
f(─(1/3)) ≈ 2.185 (максимум),
f(0) = 2,
f(1) = 1 (минимум),
f(2) = 8 ─ 4 ─ 2 + 2 = 4.
Поведение: возрастает от x = ─1 до x = ─(1/3), убывает до x = 1, возрастает до x = 2.
Ответ: График проходит через точки:
(─1, 1) → (─1/3, 59/27) → (0, 2) → (1, 1) → (2, 4).
Максимум в x = ─1/3, минимум в x = 1.
№ 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ – x² – x + 2 на отрезке [–1; 3/2].
Решение: Критические точки внутри отрезка: x = ─(1/3), x = 1.
Значения: f(─1) = 1,
f(─1/3) = 59/27 ≈ 2.185,
f(1) = 1,
f(1.5) = 3.375 ─ 2.25 ─ 1.5 + 2 = 1.625.
Сравниваем:
Наибольшее: 59/27 при x = ─(1/3),
Наименьшее: 1 при x = ─1 и x = 1.
Ответ: f_{наиб} = 59/27, f_{наим} = 1.
№ 6. Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.
Решение:
Пусть диагонали равны d₁ и d₂, d₁ + d₂ = 10, d₁, d₂ > 0.
Площадь ромба: S = (1/2) d₁ d₂.
Выразим d₂ = 10 ─ d₁, тогда
S(d₁) = (1/2) d₁ (10 ─ d₁) = 5d₁ ─ (1/2) d₁².
Производная: S'(d₁) = 5 ─ d₁ = 0 ⇒ d₁ = 5, тогда d₂ = 5.
Это максимум, так как парабола ветвями вниз.
Ответ: Ромб с наибольшей площадью — квадрат с диагоналями d₁ = d₂ = 5.
Контрольная № 3. Вариант 1
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 3 в2 по теме ─ Применение производной к исследованию функций. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
