Алгебра Алимов Контрольная 2 в1

Контрольная работа по алгебре № 2 УМК Алимов 11 класс — Производная и её геометрический смысл Вариант 1. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 2 в1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 2. Вариант 2

Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 2. Вариант 1

Проверяемая тема: Глава VIII. Производная и её геометрический смысл

№ 1. Найти производную функции: 1) 3х² ─ 1/x³; 2) (x/3 + 7)⁶; 3) e^x cos х; 4) 2^x / sin x.
ОТВЕТЫ: 1) 6x + 3/(x⁴); 2) 2 (x/3 + 7)⁵;
3) e^x (cos x ─ sin x); 4) (2 sin x ─ 2x cos x)/(sin² x).
№ 2. Найти значение производной функции f(х) = 1 ─ 6 • ³√х в точке х₀ = 8.
ОТВЕТ: ─1/2.
№ 3. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = sin х ─ Зх + 2 в точке х₀ = 0.
ОТВЕТ: y = 2 ─ 2x.
№ 4. Найти значения х, при которых значения производной функции f(х) = (x+1) / (x+3) положительны.
ОТВЕТ: x ∈ (─∞, ─3) ∪ (─3, + ∞).
№ 5. Найти точки графика функции /(х) = х³ ─ 3х², в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
ОТВЕТ: (0; 0) , (2; ─4).
№ 6. Найти производную функции F(х) = log₃ (sin х).
ОТВЕТ: (ctg x)/ (ln 3).

РЕШЕНИЯ:

№ 1. Найти производную функции:
1) \( 3x^2 — \frac{1}{x^3} \)
2) \( \left( \frac{x}{3} + 7 \right)^6 \)
3) \( e^x \cos x \)
4) \( \frac{2x}{\sin x} \)
Решение:
1) \( f(x) = 3x^2 — x^{-3} \)
\( f'(x) = 6x + 3x^{-4} = 6x + \frac{3}{x^4} \)
2) \( f(x) = \left( \frac{x}{3} + 7 \right)^6 \)
\( f'(x) = 6 \left( \frac{x}{3} + 7 \right)^5 \cdot \frac{1}{3} = 2 \left( \frac{x}{3} + 7 \right)^5 \)
3) \( f(x) = e^x \cos x \)
\( f'(x) = e^x \cos x — e^x \sin x = e^x (\cos x — \sin x) \)
4) \( f(x) = \frac{2x}{\sin x} \)
\( f'(x) = \frac{2 \sin x — 2x \cos x}{\sin^2 x} \)
Ответы:
1) \( 6x + \frac{3}{x^4} \)
2) \( 2 \left( \frac{x}{3} + 7 \right)^5 \)
3) \( e^x (\cos x — \sin x) \)
4) \( \frac{2 \sin x — 2x \cos x}{\sin^2 x} \)

№ 2. Найти значение производной функции \( f(x) = 1 — 6 \sqrt[3]{x} \) в точке \( x_0 = 8 \).
Решение:
\( f(x) = 1 — 6 x^{1/3} \)
\( f'(x) = -6 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = -2 x^{-2/3} \)
\( f'(8) = -2 \cdot 8^{-2/3} = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} \)
Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

№ 3. Записать уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sin x — 3x + 2 \) в точке \( x_0 = 0 \).
Решение:
\( f(0) = \sin 0 — 0 + 2 = 2 \)
\( f'(x) = \cos x — 3 \)
\( f'(0) = 1 — 3 = -2 \)
Уравнение касательной: \( y = f(0) + f'(0)(x — 0) \)
\( y = 2 — 2x \)
Ответ: \( y = 2 — 2x \)

№ 4. Найти значения \( x \), при которых значения производной функции \( f(x) = \frac{x+1}{x+3} \) положительны.
Решение:
\( f'(x) = \frac{1 \cdot (x+3) — (x+1) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{2}{(x+3)^2} \)
\( f'(x) > 0 \Rightarrow \frac{2}{(x+3)^2} > 0 \) — верно при всех \( x \neq -3 \)
Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty) \)

№ 5. Найти точки графика функции \( f(x) = x^3 — 3x^2 \), в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Решение: Касательная параллельна оси абсцисс, если \( f'(x) = 0 \).
\( f'(x) = 3x^2 — 6x = 3x(x — 2) \)
\( 3x(x — 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 \)
\( f(0) = 0 \), \( f(2) = 8 — 12 = -4 \)
Ответ: \( (0; 0) \), \( (2; -4) \)

№ 6. Найти производную функции \( F(x) = \log_3 (\sin x) \).
Краткое решение:
\( F'(x) = \frac{1}{\sin x \cdot \ln 3} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x \cdot \ln 3} = \frac{\cot x}{\ln 3} \)
Ответ: \( \frac{\cot x}{\ln 3} \)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть подробное РЕШЕНИЕ

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 2 в1 по теме ─ Глава VIII. Производная и её геометрический смысл. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных