Алгебра Алимов Контрольная 2 в2

Алгебра 11 класс УМК Алимов. Контрольная работа с ответами № 2 — Глава VIII. Производная и её геометрический смысл Вариант 2. Дидактические материалы Шабунин. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 2 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольную № 2. Вариант 1

Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 2. Вариант 2

Проверяемая тема: Глава VIII. Производная и её геометрический смысл

№ 1. Найти производную функции: 1) 2х³ ─ 1/x²; 2) (4 ─ 3х)⁶; 3) e^x sin x; 4) 3x / cos x.
ОТВЕТЫ: 1) \( y’ = 6x^2 + \frac{2}{x^3} \); 2) \( y’ = -18(4 — 3x)^5 \); 3) \( y’ = e^x (\sin x + \cos x) \); 4) \( y’ = \frac{3\cos x + 3x\sin x}{\cos^2 x} \).

РЕШЕНИЯ:
► 1) y = 2x³ ─ 1/(x²)
y’ = 2 • 3x² ─ (─2 • x^{─3}) = 6x² + 2/(x³).
Ответ: y’ = 6x² + 2/(x³).
► 2) y = (4 ─ 3x)⁶
y’ = 6(4 ─ 3x)⁵ • (─3) = ─18(4 ─ 3x)⁵.
Ответ: y’ = ─18(4 ─ 3x)⁵.
► 3) y = e^x sin x
y’ = e^x sin x + e^x cos x = e^x (sin x + cos x).
Ответ: y’ = e^x (sin x + cos x).
► 4) y = 3x/cos x
y’ = (3 cos x ─ 3x (─sin x))/(cos² x) = (3 cos x + 3x sin x)/(cos² x).
Ответ: y’ = (3 cos x + 3x sin x)/(cos² x).

№ 2. Найти значение производной функции f(х) = 2 ─ 1/√x в точке х₀ = 1/4.

Решение: f(x) = 2 ─ x^{─1/2}
f'(x) = 0 ─ (─(1/2) x^{─3/2}) = (1/2) x^{─3/2} = 1/(2x^{3/2}).
f'(1/4) = 1/(2 • ((1/4))^{3/2}) = 1/2 • ((1/8)) = 1/(1/4) = 4.
Ответ: f'(1/4) = 4.

№ 3. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = 4х ─ sin х + 1 в точке х₀ = 0.

Решение: f(0) = 0 ─ 0 + 1 = 1.
f'(x) = 4 ─ cos x , f'(0) = 4 ─ 1 = 3.
Уравнение касательной: y = f(0) + f'(0)(x ─ 0) = 1 + 3x.
Ответ: y = 3x + 1.

№ 4. Найти значения х, при которых значения производной функции f(х) = (1─x) / (x²+8) отрицательны.

Решение:
\( f'(x) = \frac{-(x^2+8) — (1-x)\cdot 2x}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2 — 8 — 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} =\)
\( = \frac{x^2 — 2x — 8}{(x^2+8)^2} \).
Знаменатель > 0 при всех x , поэтому знак f'(x) совпадает со знаком числителя:
x² ─ 2x ─ 8 < 0
(x ─ 4)(x + 2) < 0 ⇒ ─2 < x < 4.
Ответ: x ∈ (─2; 4).

№ 5. Найти точки графика функции f(х) = х³ + 3х², в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Решение: Касательная параллельна оси Ox ⇒ f'(x) = 0.
f'(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2).
3x(x + 2) = 0 ⇒ x = 0 или x = ─2.
f(0) = 0 , f(─2) = ─8 + 12 = 4.
Ответ: (0; 0) и (─2; 4).

№ 6. Найти производную функции f(х) = cos (log₂ х).

Решение: \( f(x) = \cos(\log_2 x) \).
\( f'(x) = -\sin(\log_2 x) \cdot \frac{1}{x \ln 2} \).
Ответ: \( f'(x) = -\frac{\sin(\log_2 x)}{x \ln 2} \).

Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 2 в2 по теме ─ Глава VIII. Производная и её геометрический смысл. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.

Вернуться к СПИСКУ контрольных