Алгебра 11 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 1 Вариант 1. Глава VII. Тригонометрические функции. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 1 В1.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольная № 1. Вариант 2
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 1. Вариант 1
Проверяемая тема: Глава VII. Тригонометрические функции
К-1 В1. Задание № 1. Решение
№ 1. Найти область определения и множество значений функции \( y = 2 \cos x \).
Решение:
1. Область определения:
Функция \( \cos x \) определена для всех действительных чисел, поэтому:
\( D(y) = \mathbb{R} \)
2. Множество значений:
Функция \( \cos x \) принимает значения в промежутке \([-1, 1]\). Умножение на 2 сжимает график по вертикали, поэтому:
\( E(y) = [-2, 2] \)
Ответ: Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \).
Множество значений: \( E(y) = [-2, 2] \).
К-1 В1. Задание № 2. Решение
№ 2. Выяснить, является ли функция \( y = \sin x — \tan x \) чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной.
Решение. Проверим чётность и нечётность функции:
1. Проверка на чётность:
\( f(-x) = \sin(-x) — \tan(-x) = -\sin x + \tan x \).
Так как \( f(-x) \neq f(x) \), функция не является чётной.
2. Проверка на нечётность:
\( f(-x) = -\sin x + \tan x = -(\sin x — \tan x) = -f(x) \).
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: Функция \( y = \sin x — \tan x \) является нечётной.
К-1 В1. Задание № 3. Решение
№ 3. Изобразить схематически график функции \( y = \sin x + 1 \) на отрезке \([-π/2; 2π]\).
Решение:
1. Исходный график \( y = \sin x \) сдвигается вверх на 1 единицу.
2. Основные точки:
— В точке \( x = -\frac{\pi}{2} \): \( y = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 \).
— В точке \( x = 0 \): \( y = \sin 0 + 1 = 1 \).
— В точке \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2 \).
— В точке \( x = \pi \): \( y = \sin \pi + 1 = 1 \).
— В точке \( x = \frac{3\pi}{2} \): \( y = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 \).
— В точке \( x = 2\pi \): \( y = \sin(2\pi) + 1 = 1 \).
Ответ: График представляет собой синусоиду \( y = \sin x \), сдвинутую вверх на 1 единицу. Максимальное значение — 2, минимальное — 0.
К-1 В1. Задание № 4. Решение
№ 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 3 \sin x \cos x + 1 \).
Решение:
1. Упростим выражение:
\( y = 3 \sin x \cos x + 1 = \frac{3}{2} \cdot 2 \sin x \cos x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2x + 1 \)
2. Функция \( \sin 2x \) принимает значения в промежутке \([-1, 1]\), поэтому:
\( y_{\text{max}} = \frac{3}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{5}{2}, \quad y_{\text{min}} = \frac{3}{2} \cdot (-1) + 1 = -\frac{1}{2} \)
Ответ: Наибольшее значение функции \( y = 3 \sin x \cos x + 1 = \frac{5}{2} \).
Наименьшее значение функции \( y = 3 \sin x \cos x + 1 = -\frac{1}{2} \).
К-1 В1. Задание № 5. Решение
№ 5. Построить график функции у = 0,5 cos х ─ 2. При каких значениях х функция возрастает? убывает?
Для построения графика функции $ y = 0.5 \cos x ─ 2 $ и определения интервалов возрастания и убывания, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определение производной функции
Найдем производную функции $ y $:
$
y’ = \frac{d}{dx}(0.5 \cos x ─ 2) = 0.5 \cdot (─\sin x) = ─0.5 \sin x
$
Шаг 2: Определение знака производной
Функция возрастает, когда производная положительна ($ y’ > 0 $), и убывает, когда производная отрицательна ($ y’ < 0 $).
1. Возрастает:
$
-0.5 \sin x > 0 \implies \sin x < 0
$
2. Убывает:
$
-0.5 \sin x < 0 \implies \sin x > 0
$
Шаг 3: Определение интервалов
Синус функции $ \sin x $ положителен на интервалах:
$
(2k\pi, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Синус функции $ \sin x $ отрицателен на интервалах:
$
((2k─1)\pi, 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Шаг 4: Результаты
Функция $ y = 0.5 \cos x — 2 $ возрастает на интервалах:
$
(2k\pi, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Функция убывает на интервалах:
$
((2k─1)\pi, 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Шаг 5: Построение графика
График функции $ y = 0.5 \cos x — 2 $ будет колебаться между $ ─2.5 $ и $ ─1.5 $ с периодом $ 2\pi $.
См. Контрольная № 1. Вариант 2
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 1 по теме ─ Глава VII. Тригонометрические функции. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
