Алгебра 11 класс УМК Алимов. Дидактические материалы Шабунин Контрольная работа № 1 Глава VII. Тригонометрические функции Вариант 2. Цитаты из пособия использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра Алимов Контрольная 1 В2.
Вернуться к СПИСКУ контрольных
См. Контрольная № 1. Вариант 1
Алгебра 11 класс Алимов
Контрольная № 1. Вариант 2
Проверяемая тема: Глава VII. Тригонометрические функции
К-1 В2. Задание № 1. Решение
№ 1. Найти область определения и множество значений функции \( y = 0{,}5 \cos x \).
Решение:
1. Область определения: Функция \( \cos x \) определена для всех действительных чисел, поэтому область определения функции \( y = 0{,}5 \cos x \) — это все \( x \in \mathbb{R} \).
2. Множество значений: Функция \( \cos x \) принимает значения в диапазоне \([-1; 1]\). Умножение на \( 0{,}5 \) сжимает график вдоль оси \( y \), поэтому множество значений функции \( y = 0{,}5 \cos x \) — это \([-0{,}5; 0{,}5]\).
Ответ: Область определения: \( x \in \mathbb{R} \).
Множество значений: \( y \in [-0{,}5; 0{,}5] \).
К-1 В2. Задание № 2. Решение
№ 2. Выяснить, является ли функция \( y = \cos x — x^2 \) чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной.
Решение:
Функция \( f(x) \) называется:
— Чётной, если \( f(-x) = f(x) \).
— Нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Проверим:
\(
f(-x) = \cos(-x) — (-x)^2 = \cos x — x^2 = f(x).
\)
Так как \( f(-x) = f(x) \), функция является чётной.
Ответ: Функция \( y = \cos x — x^2 \) является чётной.
К-1 В2. Задание № 3. Решение
№ 3. Изобразить схематически график функции \( y = \cos x — 1 \) на отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]\).
Решение:
1. Исходный график \( y = \cos x \) сдвигается вниз на 1 единицу, так как \( y = \cos x — 1 \).
2. Ключевые точки:
— При \( x = -\frac{\pi}{2} \): \( y = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) — 1 = 0 — 1 = -1 \).
— При \( x = 0 \): \( y = \cos 0 — 1 = 1 — 1 = 0 \).
— При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) — 1 = 0 — 1 = -1 \).
— При \( x = \pi \): \( y = \cos \pi — 1 = -1 — 1 = -2 \).
— При \( x = 2\pi \): \( y = \cos(2\pi) — 1 = 1 — 1 = 0 \).
3. График представляет собой косинусоиду, сдвинутую вниз на 1, с минимумом \(-2\) и максимумом \(0\).
Ответ: График функции \( y = \cos x — 1 \) на \(\left[-\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]\) — это косинусоида, опущенная на 1 единицу вниз, проходящая через точки \((-π/2, -1)\), \((0, 0)\), \((π/2, -1)\), \((π, -2)\), \((2π, 0)\).
К-1 В2. Задание № 4. Решение
№ 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \frac{1}{3} \cos^2 x — \frac{1}{3} \sin^2 x + 1 \).
Решение: Упростим функцию, используя тригонометрическое тождество:
\(
\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x.
\)
Тогда:
\(
y = \frac{1}{3} (\cos^2 x — \sin^2 x) + 1 = \frac{1}{3} \cos 2x + 1.
\)
Функция \( \cos 2x \) принимает значения в диапазоне \([-1; 1]\), поэтому:
\(
y_{\text{min}} = \frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3},
\)
\(
y_{\text{max}} = \frac{1}{3} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}.
\)
Ответ: \( y = \frac{1}{3} \cos^2 x — \frac{1}{3} \sin^2 x + 1 = \frac{2}{3} \) (наименьшее), \( \frac{4}{3} \) (наибольшее).
К-1 В2. Задание № 5. Решение
№ 5. Построить график функции у = 2 sin х + 1. При каких значениях х функция возрастает? убывает?
Для построения графика функции $ y = 2 \sin x + 1 $ и определения интервалов возрастания и убывания, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Определение производной функции
Найдем производную функции $ y $:
$
y’ = \frac{d}{dx}(2 \sin x + 1) = 2 \cos x
$
Шаг 2: Определение знака производной
Функция возрастает, когда производная положительна ($ y’ > 0 $), и убывает, когда производная отрицательна ($ y’ < 0 $).
1. Возрастает:
$
2 \cos x > 0 \implies \cos x > 0
$
2. Убывает:
$
2 \cos x < 0 \implies \cos x < 0
$
Шаг 3: Определение интервалов
Косинус функции $ \cos x $ положителен на интервалах:
$
(2k\pi — \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Косинус функции $ \cos x $ отрицателен на интервалах:
$
(2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Шаг 4: Результаты
— Функция $ y = 2 \sin x + 1 $ возрастает на интервалах:
$
(2k\pi — \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}), \quad k \in \mathbb{Z}
$
— Функция убывает на интервалах:
$
(2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}), \quad k \in \mathbb{Z}
$
Шаг 5: Построение графика
График функции $ y = 2 \sin x + 1 $ будет колебаться между $ -1 $ и $ 3 $ с периодом $ 2\pi $.
См. Контрольная № 1. Вариант 1
Вы смотрели: Алгебра Алимов Контрольная 1 по теме ─ Глава VII. Тригонометрические функции. Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы к учебнику Ш. А. Алимова и других. 11 класс: учеб, пособие для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова]. ─ М. : Просвещение» использованы в учебных целях.
Вернуться к СПИСКУ контрольных работ
